在进行多元线性回归的时候，我们需要规定一些基本法则。例如我们使用$x_j^{(i)}$来表示第i个sample的第j个特征。

将单元的线性回归变为多元线性回归，公式将变换为如下，

为了实现更简单的数学表达式，我们将表达式向量化，得到了multiple linear regression, not multivariate regression(是多元线性回归，不是多元回归)，注意由于对应多个特征，所有只有w和x是多维的，而b只是一个一维标量。

接下来我们再来更加深入地讲解一下vectorization向量化/矢量化。在线性代数中我们知道，矩阵的引入简化了方程组的计算，在计算机和深度学习中亦是如此，当我们使用矩阵进行运算时，不仅可以简洁代码，甚至由于Pytorch/Tensorflow等底层代码还能为GPU加速，Numpy为CPU加速。接下来我们来比较两种不使用vectorization和一种使用vectorization的区别，所以我们建议将所有的参数（weight权重，bias偏置）和输入（feature特征）都采用矩阵或者向量来表示，

接下来我们将更加深入地了解Vectorization的作用，那么为什么Vctorization能带来速度的提升呢？很大一部分原因是因为他在计算机内部的运行往往是并行的，以for循环为例，for循环是一步一步串行计算的；而dot则是先全部in parallel并行计算完毕，再一次性将结果相加，过程比较如下：

在了解了向量化能够带来的优势后，我们用向量化来表达多元线性回归，我们将w和x向量化，得到如下的表示，

我们重点来了解一下偏微分的部分，假设我们有n个feature，m个sample，我们对单个feature求偏微分就应该对m个sample都求偏微分再求平均，如下，

同时，除了使用Gradient Descent来求解Linear Regression的解之外，我们还可以使用Normal equation法方程来求解，但是它并不像是GD能推广到别的机器学习如卷积神经网络上。我们需要注意到的是在一些机器学习库的后端，很有可能会使用Normal equation来求解Linear Regression的参数，因为这个方法更快。