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凸包概念
1 点集Q的凸包（convex hull）是指一个最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者在其内。图1中由红色表示线段的多边形就是点集Q={p0,p1,...p12}的凸包。
2 一组平面上的点，求一个包含所有点的最小的凸多边形，这就是凸包问题了。这可以形象地想成这样：在地上放置一些不可移动的木桩，用一根绳子把他们尽量紧地圈起来，并且为凸边形，这就是凸包了。
算法思路
首先找到数组中位于左下角的点，并将其移动至数组首位；然后将所有点移动至以左下角点为坐标原点的坐标轴上；再对数组进行排序（按照与x轴夹角大小排序）；对排序完成的数组进行计算，求解凸包。
（1）创建凸包节点栈，并将排序后数组中的第二个值入栈（第一个值为坐标原点，无需入栈），开始凸包计算。
（2）判断数组中下一个点是否在前一点与坐标原点连线的左侧或连线上。若不在，转至步骤（3）若在转至步骤（4）
（3）栈顶点不符合要求，需要移除，并重新执行步骤（2）
（4）判断当前点p与栈中顶部两个点p1（top点）p2（顶部第二个点）的关系。★（较难）
如果向量p2p1与向量pp1是逆时针旋转（即∠p2p1p为负角，以向量p2p1为正方向），或者点p、p1、p2三点连线；点入栈。
否则（顺时针旋转，正角），栈顶点p1出栈，p入栈。
（5）当遍历完数组所有值时，程序结束。栈中存储着凸包图形结点。
动态过程（源自数学：凸包算法详解 - 爱国呐 - 博客园）
备注：以下结构体、函数均为自定义结构体及函数。
算法过程
1、准备数据
//默认的输入列表
Point* init()
{
Point p1(1, 3);
Point p2(2, 2);
Point p3(4, 9);
Point p4(3, 5);
Point* plist = new Point[5];
plist[0] = p1;
plist[1] = p2;
plist[2] = p3;
plist[3] = p4;
return plist;
}2、数据处理
2.1 获取左下角的点
void getPole(Point* &plist, int size)
{
for (int i = 0; i < size; i++)
{
if (plist[i].y < plist[0].y || (plist[i].y == plist[0].y && plist[i].x < plist[0].x))
Swap(plist[i], plist[0]);
}
}2.2 坐标点移动至左下角点坐标系中
void DealData(Point* &plist, int size)
{
Point p = plist[0];
for (int i = 0; i < size; i++) {
plist[i].x -= p.x;
plist[i].y -= p.y;
}
}2.3 坐标点排序
void Sort(Point* &plist, int size)
{
for (int i = 0; i < size - 1; i++)
for (int j = 0; j < size -i -1; j++) {
if (Compare(plist[j], plist[j + 1]))//plist[i]<plist[i+1]
Swap(plist[j], plist[j + 1]);
}
}3、Graham算法
3.1 判断点与线（栈顶点和原点连线）的关系
//点与线的关系 0 共线，负 点在向量（原点与栈顶点连线）的右侧，正 左侧
int PointLine(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;
}3.2 计算夹角（顺逆时针旋转）
更新内容：计算夹角采用double类型计算
//向量叉乘
double cross(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;
}
//向量点乘
double multi(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.x + v1.y*v2.y;
}
//计算夹角
double getangle(Point p, Point p1, Point p2) {
Point v1(p2.x - p1.x, p2.y - p1.y);
Point v2(p.x - p1.x, p.y - p1.y);
double theta = atan2((double)cross(v1, v2), (double)multi(v1, v2));
return theta;
}3.3.算法主体
更新：算法小bug已修复
对栈顶1、2号元素与待入栈元素循环比较，直到三点夹角满足条件，再将点入栈
//逆时针找数据
stack<Point> stack;
stack.push(pl[0]);
stack.push(pl[1]);
for (int i = 2; i < psize; i++) {
//cout << "第" << i << "个点：" << " " << pl[i].x << " " << pl[i].y << endl;
if (PointLine(stack.top(), pl[i]) < 0)//在栈顶点与原点连线的右边
{
//cout << "出栈：" << stack.top().x << " " << stack.top().y << endl;
stack.pop();
stack.push(pl[i]);
//cout << "入栈：" << stack.top().x << " " << stack.top().y << endl;
}
else if(PointLine(stack.top(), pl[i]) == 0) {//点在线上
stack.push(pl[i]);
//cout << "入栈：" << stack.top().x << " " << stack.top().y << endl;
}
else {//点在线的左侧
Point p1 = stack.top();
stack.pop();
Point p2 = stack.top();
//判断向左拐存在问题
//cout << "三点夹角：" << getangle(pl[i], p1, p2) << endl;
if (getangle(pl[i], p1, p2) <= 0) {//负角，保留
stack.push(p1);
cout << pl[i].x << " " << pl[i].y << "进栈\n";
stack.push(pl[i]);
}
else {//正角，舍去
while (getangle(pl[i], p1, p2) > 0)//判断当前三点关系
{
//cout << p1.x << " " << p1.y << "出栈\n";
p1 = p2;
stack.pop();
p2 = stack.top();
}
stack.push(p1);
//cout << pl[i].x << " " << pl[i].y << "进栈\n";
stack.push(pl[i]);
}
}
}
完整代码如下：
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
#include <stack>
#include <cmath>
//Graham扫描法求解凸包问题
struct Point {
int x, y;
Point(int x, int y) :x(x), y(y) {}
Point() {}
};
//默认的输入列表
Point* init()
{
Point p1(1, 3);
Point p2(2, 2);
Point p3(4, 9);
Point p4(3, 5);
Point* plist = new Point[5];
plist[0] = p1;
plist[1] = p2;
plist[2] = p3;
plist[3] = p4;
return plist;
}
void Swap(Point &p1, Point &p2) {
Point tmp = p2;
p2 = p1;
p1 = tmp;
}
//计算左下角点
void getPole(Point* &plist, int size)
{
for (int i = 0; i < size; i++)
{
if (plist[i].y < plist[0].y || (plist[i].y == plist[0].y && plist[i].x < plist[0].x))
Swap(plist[i], plist[0]);
}
}
//比较a,b与x轴夹角的大小
bool Compare(Point a, Point b)
{
double anglea =atan2( (double)a.y , (double)a.x);
double angleb =atan2( (double)b.y , (double)b.x);
if (anglea == angleb) {//共线条件比较
int d1 = a.x*a.x + a.y*a.y;
int d2 = b.x*b.x + b.y*b.y;
return d1 > d2;
}
else
return anglea > angleb;
}
//冒泡排序
void Sort(Point* &plist, int size)
{
for (int i = 0; i < size - 1; i++)
for (int j = 0; j < size - 1 - i; j++) {
if (Compare(plist[j], plist[j + 1]))//plist[i]<plist[i+1]
Swap(plist[j], plist[j + 1]);
}
}
//坐标变换
void DealData(Point* &plist, int size)
{
Point p = plist[0];
for (int i = 0; i < size; i++) {
plist[i].x -= p.x;
plist[i].y -= p.y;
}
}
int PointLine(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;
}
//判断是否共线
bool collinear(Point p1, Point p2, Point p3) {
return (p1.x*p2.y + p2.x*p3.y + p3.x*p1.y - p1.x*p3.y - p2.x*p1.y - p3.x*p2.y) == 0;
}
double cross(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.y - v1.y*v2.x;
}
double multi(Point v1, Point v2) {
return v1.x*v2.x + v1.y*v2.y;
}
//计算夹角
double getangle(Point p, Point p1, Point p2) {
Point v1(p2.x - p1.x, p2.y - p1.y);
Point v2(p.x - p1.x, p.y - p1.y);
double theta = atan2((double)cross(v1, v2), (double)multi(v1, v2));
return theta;
}
//算法主体
vector<Point> Graham(Point* pl, int psize) {
getPole(pl, psize);//处理数据，极点至首位
Point pole = pl[0];//坐标原点
DealData(pl, psize);//将极点为坐标原点处理各点坐标
Sort(pl, psize);//按极角排序
stack<Point> stack;
//逆时针找凸包结点
stack.push(pl[0]);
stack.push(pl[1]);
for (int i = 2; i < psize; i++) {
if (PointLine(stack.top(), pl[i]) < 0)//在栈顶点与原点连线的右边
{
stack.pop();
stack.push(pl[i]);
}
else if(PointLine(stack.top(), pl[i]) == 0) {//点在线上
stack.push(pl[i]);
}
else {
Point p1 = stack.top();
stack.pop();
Point p2 = stack.top();
if (getangle(pl[i], p1, p2) <= 0) {//负角，保留
stack.push(p1);
stack.push(pl[i]);
}
else {//正角，舍去
while (getangle(pl[i], p1, p2) > 0)
{
p1 = p2;
stack.pop();
p2 = stack.top();
}
stack.push(p1);
stack.push(pl[i]);
}
}
}
int pnum = stack.size();
//顺时针获取栈内元素
vector<Point> plist;
for (int i = 0; i < pnum; i++)
{
plist.push_back(Point(stack.top().x + pole.x, stack.top().y + pole.y));
stack.pop();
}
return plist;
}
int main()
{
Point* plist = init();
//执行算法
vector<Point> pl = Graham(plist, 4);//输入点的列表、点的个数
cout << "最终结果为：\n";
for (int i = 0; i < pl.size(); i++) {
cout << "第" << i << "个点：" << pl.at(i).x << " " << pl.at(i).y << endl;
}
return 0;
}执行结果
算法参考：