凸包问题的两个算法,上一篇学习了简单好写的卷包裹法,现在我们学习Graham-Scan法。
首先复习一下中学学过的极坐标。
平面中取一定点A,从A点出发的一条射线AM,再选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。
对于平面内任意一点B,都可以用有序对(,)(0<=<2)唯一表示,表示线段AB的长度,表示从AM到AB的角度。
这样建立的坐标系称为极坐标系,定点A称为极点,射线AM称为极轴,称为点B的极径,称为点B的极角,有序对(,)就称点A的极坐标。
若极坐标系中定点A与直角坐标系的原点O重合,极坐标系中的极轴为直角坐标系X轴正半轴,于X轴逆时针成90°角为Y正半轴,则空间中任意一点A在极坐标系中坐标(,)与直角坐标系中的坐标(x,y)转化关系为:x=cos y=sin。
简单复习之后(毕竟中学已经学过了)开始学习Graham-Scan算法。
原理:
Grajam-Scan是一种灵活的凸包算法,其总时间复杂度仅为O(nlogn)。Graham扫描法的原理是从点集中先找出一个最左下方的点,可以证明,这个点肯定在凸包上(易证),然后以这个点为极点,将所有点根据与这个点的极角排序,并且同时使用一个栈结构维护凸包上的点。
按照极角序依次将点与栈顶的两个点拐向判断:若右拐,则将当前点加入栈中;否则,将栈顶的点弹出。当遍历完点集后,还在栈中的点就是凸包上的点,而且依次出栈可以得到从起点开始顺时针旋转的所有凸包上的点。
算法步骤:
Step1:选出x坐标最小的点作为极点(x坐标相同,选y最小的点)。这个点必在凸包上。
Step2:将其余点按极角排序,在极角相同的情况下比较与极点的距离,离极点比较近的优先。
Step3:用一个栈S存储凸包上的点,先将按极角和极点排序最小的两个点入栈。
Step4:按需扫描每个点,检查栈顶的前两个元素与这个点构成的折线段是否“拐”向右侧(叉积<=0)。
Step5:如果满足,则弹出栈顶元素,并返回Step4再次检查,直至不满足。将该点入栈,并对其他点不断执行Step5操作。
Step6:最终栈中的元素为凸包的顶点序列。
算法类似上一个章节的卷包裹法。样例流程也是一样的(我甚至代码都没有改)完全可以参照卷包裹法写出代码:
想开上一章卷包裹法||样例流程的点开这个链接:https://blog.csdn.net/qq_40482358/article/details/88064135
模板:输入n个点,输出这n个点所围成的凸包,从原点开始顺时针输出凸包的顶点。
同样两份代码,Graham-Scan扫描法和Jarvis步进法。
Code1-Graham-Scan扫描法:
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<map>
//#include<set>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<string>
#include<fstream>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define Pair pair<int,int>
//#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
//#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define clean(a,b) memset(a,b,sizeof(a))// 水印
//std::ios::sync_with_stdio(false);
// register
const int MAXN=1e3+10;
const int INF32=0x3f3f3f3f;
const ll INF64=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+7;
const double EPS=1.0e-8;
const double PI=acos(-1.0);
struct Point{
double x,y;
Point(double _x=0,double _y=0){
x=_x;y=_y;
}
friend Point operator + (const Point &a,const Point &b){
return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
friend Point operator - (const Point &a,const Point &b){
return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
friend double operator ^ (Point a,Point b){//向量叉乘
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
};
struct V{
Point start,end;double ang;
V(Point _start=Point(0,0),Point _end=Point(0,0),double _ang=0.0){
start=_start;end=_end;ang=_ang;
}
friend V operator + (const V &a,const V &b){
return V(a.start+b.start,a.end+b.end);
}
friend V operator - (const V &a,const V &b){
return V(a.start-b.start,a.end-b.end);
}
};
struct Circle{
double r;
Point centre;
Circle(Point _centre=Point(0,0),double _r=0){
centre=_centre;r=_r;
}
};
Point Dots[MAXN];
Point stk[MAXN];int top;
int n;
double Distance(Point a,Point b){
return sqrt((a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
double Parellel(double key){
return fabs(key)<EPS?0:key;
}
int Cmp(Point a,Point b){
double res=Parellel((a-Dots[1])^(b-Dots[1]));
if(res>0) return 1;
if(res==0&&Distance(a,Dots[1])<Distance(b,Dots[1])) return 1;
return 0;
}
void Graham(){
sort(Dots+2,Dots+1+n,Cmp);
top=2;stk[1]=Dots[1];stk[2]=Dots[2];
for(int i=3;i<=n;++i){
while(top>=2&&((stk[top]-stk[top-1])^(Dots[i]-stk[top-1]))<EPS) --top;
stk[++top]=Dots[i];
}stk[top+1]=stk[1];
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;++i){
scanf("%lf%lf",&Dots[i].x,&Dots[i].y);
}int k=1;
for(int i=2;i<=n;++i){
if(Dots[i].y<Dots[k].y||(Dots[i].y==Dots[k].y&&Dots[i].x<Dots[k].x)){
k=i;
}
}swap(Dots[1],Dots[k]);
Graham();
double ans=0;
for(int i=1;i<=top;++i){
if(stk[i].x==0&&stk[i].y==0){
for(int j=i;j<=top;++j){
printf("(%lf,%lf)\n",Dots[j].x,Dots[j].y);
}
for(int j=1;j<i;++j){
printf("(%lf,%lf)\n",Dots[j].x,Dots[j].y);
}break;
}
}
}
/*
10
0 0
70 -50
60 30
-30 -50
80 20
50 -60
90 -20
-30 -40
-10 -60
90 10
*/
Code2这个是Jarvis步进法:
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<map>
#include<set>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<string>
#include<fstream>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
#define Pair pair<int,int>//,pair<int,int> >
//#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
//#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define clean(a,b) memset(a,b,sizeof(a))// 水印
//std::ios::sync_with_stdio(false);
// register
const int MAXN=3e2+10;
const int INF32=0x3f3f3f3f;
const ll INF64=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const ll mod=1e9+7;
const double EPS=1.0e-8;
const double PI=acos(-1.0);
struct Point{
double x,y;
Point(double _x=0,double _y=0){
x=_x;y=_y;
}
friend Point operator + (const Point &a,const Point &b){
return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);
}
friend Point operator - (const Point &a,const Point &b){
return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
friend double operator ^ (Point a,Point b){//向量叉乘
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
}p[MAXN];
struct V{
Point start,end;double ang;
V(Point _start=Point(0,0),Point _end=Point(0,0),double _ang=0.0){
start=_start;end=_end;ang=_ang;
}
friend V operator + (const V &a,const V &b){
return V(a.start+b.start,a.end+b.end);
}
friend V operator - (const V &a,const V &b){
return V(a.start-b.start,a.end-b.end);
}
};
int n,res[MAXN],top;
int Cmp(Point a,Point b){
if(a.y==b.y)
return a.x<b.x;
return a.y<b.y;
}
int Mult(Point sp,Point ep,Point op){
return (sp.x-op.x)*(ep.y-op.y)>=(ep.x-op.x)*(sp.y-op.y)-EPS;
}
void Jarvis(){
int len;top=1;
sort(p,p+n,Cmp);
if(n==0) return ;res[0]=0;
if(n==1) return ;res[1]=1;
if(n==2) return ;res[2]=2;
for(int i=2;i<n;++i){
while(top&&Mult(p[i],p[res[top]],p[res[top-1]])) --top;
res[++top]=i;
}len=top;
// cout<<"first for()"<<top<<endl;
res[++top]=n-2;
for(int i=n-3;i>=0;--i){
while(top!=len&&Mult(p[i],p[res[top]],p[res[top-1]])) --top;
res[++top]=i;
}
// cout<<"second for()"<<top<<endl;
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;++i){
scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);
}
Jarvis();int s;//cout<<top<<endl;
for(s=0;s<top;++s){
if(!p[res[s]].x&&!p[res[s]].y) break;
}
for(int i=s;i<top;++i){
printf("(%lf,%lf)\n",p[res[i]].x,p[res[i]].y);
}
for(int i=0;i<s;++i){
printf("(%lf,%lf)\n",p[res[i]].x,p[res[i]].y);
}
}
/*
10
0 0
70 -50
60 30
-30 -50
80 20
50 -60
90 -20
-30 -40
-10 -60
90 10
*/
下面是验证板子:
POJ-1873-The Fortified Forest,题解:https://blog.csdn.net/qq_40482358/article/details/88081113