首先第一问,我们设
表示i个叶子的树的叶子平均深度的期望
那么有转移
即
对于第二问,我们考虑
表示i个叶子的树深度≥j的概率。
那么n个叶子的树的深度的期望显然就是
我们枚举左右两棵子树的点数来转移:
注意最后容斥掉重复的。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 110
inline char gc(){
static char buf[1<<16],*S,*T;
if(T==S){T=(S=buf)+fread(buf,1,1<<16,stdin);if(T==S) return EOF;}
return *S++;
}
inline int read(){
int x=0,f=1;char ch=gc();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=gc();}
while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=gc();
return x*f;
}
namespace sol1{
int n;double f[N];//f[i]--i个叶子的树的叶子平均深度的期望
inline void work(){
n=read();f[1]=0;
for(int i=2;i<=n;++i) f[i]=f[i-1]+2.0/i;
printf("%.6lf\n",f[n]);
}
}
namespace sol2{
int n;double f[N][N];//f[i][j],i个叶子的树深度≥j的概率
inline void work(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=1;
for(int i=2;i<=n;++i)
for(int j=1;j<i;++j){
for(int k=1;k<i;++k)
f[i][j]+=f[k][j-1]+f[i-k][j-1]-f[k][j-1]*f[i-k][j-1];f[i][j]/=i-1;
}
double ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i) ans+=f[n][i];
printf("%.6lf\n",ans);
}
}
int main(){
// freopen("a.in","r",stdin);
if(read()==1) sol1::work();
else sol2::work();
return 0;
}