前言

本文简要记录了https://ieeexplore.ieee.org/abstract/document/9771079的学习笔记

一、下行MISO传输优化，Double/Single IRS Reflection的channel gain的上界

在本节中，我们考虑了一种双IRS辅助多用户系统，其中多天线BS和每个用户集群之间的通信由两个固定IRS辅助，它们分别部署在BS和用户集群附近（以最小化它们各自的单反射链路的路径损耗），因此分别称为BS侧IRS和用户侧IRS。 为了方便起见，我们考虑一个用户集群，并将BS端IRS称为IRS1，将用户端IRS称为IRS2，如图Fig3所示， 注意，这种设置可以被认为是Fig. 2中$J=2$和 D k = J = { 1 , 2 } \mathcal{D}_{k}=\mathcal{J}=\{1,2\} Dk​=J={ 1,2}通用多IRS系统的特例 因此，除了传统的BS用户直接链路外，还可以通过两个IRS（即IRS 1和IRS 2）建立的两个单反射链路和一个双反射链路有效地为K个用户提供服务。 在上述设置下，(2)中BS与用户$k,k\in \mathcal{K}$之间的有效MISO信道可简化为
$${\mathbf{h}}_k=\underset{\text{Direct link }}{\underbrace{{\mathbf{f}}_k}}+\underset{\text{Single-reflection links }}{\underbrace{{\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{g}}_{1,k}+{\mathbf{Q}}_{0,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_{2,k}}}+\underset{\text{Double-reflection link }}{\underbrace{{\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{S}}_{1,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_{2,k}}}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

接下来，我们考虑单用户设置，但在BS上配备了多个天线，即$K=1$和$N_B>1$。 我们还考虑了最坏的情况，即BS和用户之间的直接链路被严重阻塞，因此可以忽略

在这种情况下，在BS处的（主动）发射/接收波束形成需要与在两个分布式IRSS处的协作（被动）反射波束形成联合优化。 设${\mathbf{w}}^H\in {\mathbb{C}}^{1\times N_B}$表示BS处的（活动）发射/接收波束形成，由此得到的BS和用户之间的有效端到端信道由下式给出
$$\begin{array}{rl}\bar{h}& ={\mathbf{w}}^H\mathbf{h}\\ & ={\mathbf{w}}^H\left({\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{g}}_1+{\mathbf{Q}}_{0,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2+{\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{S}}_{1,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

对于任意给定的${\mathbf{w}}^H$,${\mathbf{\Phi }}_1$和${\mathbf{\Phi }}_2$，我们将单反射链路和双反射链路的有效信道功率增益分别定义为${\gamma }_s={\left|{\mathbf{w}}^H\left({\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{g}}_1+{\mathbf{Q}}_{0,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2\right)\right|}^2$和${\gamma }_d={\left|{\mathbf{w}}^H{\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{S}}_{1,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2\right|}^2$。
对于single- and double- reflection links的信道增益最大化，即最大${\max }_{{\mathbf{w}}^H,{\varphi }_1,{\varphi }_2}{\gamma }_s$和最大${\max }_{{\mathbf{w}}^H,{\mathbf{\varphi }}_1,{\mathbf{\varphi }}_2}{\gamma }_d$通常会导致不同的最优联合主/被动波束形成设计$\left\{{\mathbf{w}}^H,{\mathbf{\varphi }}_1,{\mathbf{\varphi }}_2\right\}$。 换句话说，我们无法找到一种同时满足单反射链路和双反射链路的最优联合主/被动波束形成设计（除非某些特殊的信道实现）。 因此，为了最大化有效的端到端信道增益，即${\max }_{{\mathbf{w}}^H,{\varphi }_1,{\varphi }_2}|\bar{h}{|}^2$，我们通常需要联合设计有源/无源波束形成，以分别在single- and double-
reflection links上实现信道增益${\gamma }_s$和${\gamma }_d$之间的最佳平衡。值得指出的是，由于单位模约束 { ϕ 1 , ϕ 2 } \left\{\phi_{1}, \phi_{2}\right\} { ϕ1​,ϕ2​}以及有源波束形成${\mathbf{w}}^H$和 C P B { ϕ 1 , ϕ 2 } \mathrm{CPB}\left\{\phi_{1}, \phi_{2}\right\} CPB{ ϕ1​,ϕ2​}之间的耦合，联合主/被动波束形成优化一般是非凸的。文[18]表明，交替优化(AO)方法可以通过迭代的方式交替优化BS处的主动波束形成和两个IRS处的CPB来有效地解决该联合波束形成设计问题 。另一方面，为了实现single- and double-reflection links的相干信道合成，可以将IRSS 1和2的两个无源波束形成矢量分别设计为$e^{j\theta }{\varphi }_1$和$e^{j\theta }{\varphi }_2$，其中$\theta$表示应用于两个IRSs的公共相移[18]。 具体地说，通过将$e^{j\theta }{\varphi }_1$和$e^{j\theta }{\varphi }_2$代入(7)，我们得到相应的信道增益为
$$\begin{array}{l}|\bar{h}{|}^2=\mid e^{j\theta }\underset{a_s}{\underbrace{{\mathbf{w}}^H\left({\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{g}}_1+{\mathbf{Q}}_{0,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2\right)}}\\ +{e^{j2\theta }\underset{a_d}{\underbrace{{\mathbf{w}}^H{\mathbf{Q}}_{0,1}{\mathbf{\Phi }}_1{\mathbf{S}}_{1,2}{\mathbf{\Phi }}_2{\mathbf{g}}_2}}|}^2\stackrel{(a)}{\le }{\left(\left|a_s\right|+\left|a_d\right|\right)}^2,\end{array}$$

其中(a)是由于三角不等式，且该等式成立当且仅当$\angle \left(e^{j\theta }{a}_s\right)=\angle \left(e^{j2\theta }{a}_d\right)$，对于double- and single-reflection links的相干信道组合，用$\theta =\angle \left(a_s/a_d\right)$可以很容易地实现。