基本原理

Boosting族算法可以将多个弱分类器加权结合成强分类器。其中，AdaBoost是最为显著的代表算法，它的基本思想为：先从初始训练集训练出一个弱分类器，每一次训练的弱分类器参与下一次训练，直到错误率足够小或者达到指定迭代次数。

AdaBoost算法的三个步骤：

一、对训练数据赋相同的权重。如果样本数为m，权重为1/m。

二、训练弱分类器并计算每个分类器的权重值alpha。训练出一个弱分类器后，计算该分类器的错误率ε，alpha计算公式如下

分类正确的样本在下一次训练时权重减小，分类错误的样本在下一次训练时权重增加。即每次训练的弱分类器一方面计算分类器权重值alpha，另一方面调整用于下一轮训练的样本权重。

三、将所有弱分类器加权结合得到强分类器，权值为alpha。

如果基于“加性模型”（additive model），即弱分类器的线性组合，用公式表达为

其中h_t(x)是弱分类器，α_{t是每个弱分类器的权重值alpha。}

使用线性组合来最小化损失函数

如果H(x)能使损失最小化，考虑上式对H(x)的偏导

令偏导等于0解得

最后构建的强分类器为

第一个弱分类器h1由初始数据得到，迭代生成h_t，α_t

_{弱分类器h_t使得}α_{th_t}能够最小化损失函数

其中，对损失函数求导

令偏导为0，解得

得到分类器t的权重值。

代码部分

数据集wine quality（http://archive.ics.uci.edu/ml/datasets/Wine+Quality），共1599个样本，将其分为训练集和测试集两部分。

from numpy import *

def loadDataSet(fileName):      #general function to parse tab -delimited floats
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) #get number of fields 
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat-1):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        dataMat.append(lineArr)
        labelMat.append(float(curLine[-1]))
    return dataMat,labelMat

def stumpClassify(dataMatrix,dimen,threshVal,threshIneq):#just classify the data
    retArray = ones((shape(dataMatrix)[0],1))
    if threshIneq == 'lt':
        retArray[dataMatrix[:,dimen] <= threshVal] = -1.0
    else:
        retArray[dataMatrix[:,dimen] > threshVal] = -1.0
    return retArray
    

def buildStump(dataArr,classLabels,D):
    dataMatrix = mat(dataArr); labelMat = mat(classLabels).T
    m,n = shape(dataMatrix)
    numSteps = 10.0; bestStump = {}; bestClasEst = mat(zeros((m,1)))
    minError = inf #init error sum, to +infinity
    for i in range(n):#loop over all dimensions
        rangeMin = dataMatrix[:,i].min(); rangeMax = dataMatrix[:,i].max();
        stepSize = (rangeMax-rangeMin)/numSteps
        for j in range(-1,int(numSteps)+1):#loop over all range in current dimension
            for inequal in ['lt', 'gt']: #go over less than and greater than
                threshVal = (rangeMin + float(j) * stepSize)
                predictedVals = stumpClassify(dataMatrix,i,threshVal,inequal)#call stump classify with i, j, lessThan
                errArr = mat(ones((m,1)))
                errArr[predictedVals == labelMat] = 0
                weightedError = D.T*errArr  #calc total error multiplied by D
                #print "split: dim %d, thresh %.2f, thresh ineqal: %s, the weighted error is %.3f" % (i, threshVal, inequal, weightedError)
                if weightedError < minError:
                    minError = weightedError
                    bestClasEst = predictedVals.copy()
                    bestStump['dim'] = i
                    bestStump['thresh'] = threshVal
                    bestStump['ineq'] = inequal
    return bestStump,minError,bestClasEst


def adaBoostTrainDS(dataArr,classLabels,numIt=40):
    weakClassArr = []
    m = shape(dataArr)[0]
    D = mat(ones((m,1))/m)   #init D to all equal
    aggClassEst = mat(zeros((m,1)))
    for i in range(numIt):
        bestStump,error,classEst = buildStump(dataArr,classLabels,D)#build Stump
        #print "D:",D.T
        alpha = float(0.5*log((1.0-error)/max(error,1e-16)))#calc alpha, throw in max(error,eps) to account for error=0
        bestStump['alpha'] = alpha  
        weakClassArr.append(bestStump)                  #store Stump Params in Array
        #print "classEst: ",classEst.T
        expon = multiply(-1*alpha*mat(classLabels).T,classEst) #exponent for D calc, getting messy
        D = multiply(D,exp(expon))                              #Calc New D for next iteration
        D = D/D.sum()
        #calc training error of all classifiers, if this is 0 quit for loop early (use break)
        aggClassEst += alpha*classEst
        #print "aggClassEst: ",aggClassEst.T
        aggErrors = multiply(sign(aggClassEst) != mat(classLabels).T,ones((m,1)))
        errorRate = aggErrors.sum()/m
        #print ("total error: ",errorRate)
        if errorRate == 0.0: break
    print ("total error: ",errorRate)
    return weakClassArr,aggClassEst

def plotROC(predStrengths, classLabels):
    import matplotlib.pyplot as plt
    cur = (1.0,1.0) #cursor
    ySum = 0.0 #variable to calculate AUC
    numPosClas = sum(array(classLabels)==1.0)
    yStep = 1/float(numPosClas); xStep = 1/float(len(classLabels)-numPosClas)
    sortedIndicies = predStrengths.argsort()#get sorted index, it's reverse
    fig = plt.figure()
    fig.clf()
    ax = plt.subplot(111)
    #loop through all the values, drawing a line segment at each point
    for index in sortedIndicies.tolist()[0]:
        if classLabels[index] == 1.0:
            delX = 0; delY = yStep;
        else:
            delX = xStep; delY = 0;
            ySum += cur[1]
        #draw line from cur to (cur[0]-delX,cur[1]-delY)
        ax.plot([cur[0],cur[0]-delX],[cur[1],cur[1]-delY], c='b')
        cur = (cur[0]-delX,cur[1]-delY)
    ax.plot([0,1],[0,1],'b--')
    plt.xlabel('False positive rate'); plt.ylabel('True positive rate')
    plt.title('ROC curve for AdaBoost horse colic detection system')
    ax.axis([0,1,0,1])
    plt.show()
    print ("the Area Under the Curve is: ",ySum*xStep)
    
def test():
    datArr,labelArr = loadDataSet('winetrain.txt')
    classifierArray,aggClassEst = adaBoostTrainDS(datArr,labelArr,10)
    testArr,testLabelArr = loadDataSet('winetest.txt')
    classifierArray = adaBoostTrainDS(testArr,testLabelArr,10)
    plotROC(aggClassEst.T,labelArr)

test()

弱分类器数目不同时，训练错误率和测试错误率。在数目为100时，可以看到训练错误率增大，是因为出现了过拟合。

ROC曲线用于度量分类中的非均衡性。

上图为使用10000个弱分类器时强分类器的ROC曲线。图中横轴是伪正例的比例差准率（precision）TP/(TP+FP)，轴是真正例的比例查全率（recall）TP/(TP+FN)，虚线是随机猜测的结果曲线，图上点十分靠近左上角，说明在保证查全率低的情况下，差准率很高，分类器的性能很好。

参考资料

【1】《机器学习实战》 Peter Harrington 著人民邮电出版社

【2】《机器学习》周志华著清华大学出版社

机器学习实战笔记——AdaBoost

基本原理

代码部分

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