Acwing 1224.交换瓶子
题目描述
有 N 个瓶子,编号 1∼N,放在架子上。
比如有 5 个瓶子:
2 1 3 5 4
要求每次拿起 2 个瓶子,交换它们的位置。经过若干次后,使得瓶子的序号为:
1 2 3 4 5
对于这么简单的情况,显然,至少需要交换 2 次就可以复位。如果瓶子更多呢?你可以通过编程来解决。
输入格式
第一行包含一个整数 N,表示瓶子数量。第二行包含 N 个整数,表示瓶子目前的排列状况。
输出格式
输出一个正整数,表示至少交换多少次,才能完成排序。数据范围
1≤N≤10000
输入样例1:
5
3 1 2 5 4
输出样例1:
3输入样例2:
5
5 4 3 2 1
输出样例2:
2
算法1 暴力枚举
思路:
实际思路就是遍历数组,发现和他应有顺序不同的,就从他后面(i+1 -> n)寻找相同的,然后将二者交换,之后再往后遍历到n即可。
C代码
#include<stdio.h>
const int N=10010;
int a[N],n,t;
int ans=0;
int main()
{
// 输入序列长度 n 和序列 a
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); //输入序列
//从a[1]开始遍历
for(int i=1;i<=n;i++)
{
//本题是严格排序的
//如果a[i]值与i不匹配,比如i = 1,a[i] = 2,那么寻找a[j] = 1,对a[i]和a[j]进行交换
if(a[i]!=i)
{
// 从当前位置 i 向后查找,找到第一个值为 i 的位置 j
for(int j=i+1;j<=n;j++)
{
if(a[j]==i)
{
// 交换位置 i 和位置 j 的值
t=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=t;
}
}
// 统计交换次数
ans++;
}
}
// 输出交换次数
printf("%d",ans);
return 0;
}
算法2
图论
样例分析:
首先约定,我们的 i 从 1 - 5 就代表了我们的目标状态,其中红色代表我们的目标状态,而蓝色代表我们希望改变后达到的状态,此时上下作为图的前驱和后继(起点和终点),构造图,得到5个自环:
1、开始分析,我们的初始状态是这样的:此时初始状态是 2个环,我们的目标是 5个环
2、当我们在同一个图内尝试交换,发现同一个图内每交换一次,那么就裂一次,增加一个环
3、所以我们的 最少交换次数,就是我们 增加的环数,我们增加的环数又等于
总环数—初始环数
而总环数等于元素个数 n 我们的问题就转变为了,求一开始图的环数!!!
综上所述: 最少交换次数 = n - 初始环数
注意:因为我们固定了1 2 3 4 5的顺序,如果要形成五个环,那么就会自动变成 1 2 3 4 5顺序,不可能出现其他顺序,否则就不会是5个环。
那么问题来了,我们应该如何求初始环数呢?
(哈哈哈,就皮一下~别打别打)其实很简单啦,可以开一个bool数组来记录每个位置是否遍历过。如果找到了一个没有遍历过的位置就说明找到了一个新的环,cnt++,并且以这个结点为起点,开始寻找后驱,循环这个环并且标记所有位置,直到回到起点的位置。
//遍历图,因为我们的图起点都是1 2 3 4 5
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if( !st[i] ) //st[i]表示这个点是否被标记,被标记就说明已经在其它环内,没有被标记说明是一个新的环的结点
{
cnt++; //没有被访问,那么就cnt+1
for(int j = i; !st[j]; j = a[j]) //逐个访问以j为起点的环,其中下一个元素是a[j]
st[j] = true; //标记结点
}
}
以下是一个人工模拟过程:
1、在第一次外层循环中,i=1,st[1] = false,沒有被标记,因此找到了一个环。 cnt = 1,进入内层循环:
-
第一次内层循环:j=1,标记st[1]=true,a[1]=3,跳转到位置3。
-
第二次内层循环:j=3,标记st[3]=true,a[3]=2,跳转到位置2。
-
第三次内层循环:j=2,标记st[2]=true,a[2]=1,跳转到位置1,此时st[1] = true,退出内循环。
2、在第二次外层循环中,i=2,已经访问过位置2,跳过内层循环。
3、在第三次外层循环中,i=3,已经访问过位置3,跳过内层循环。
4、在第四次外层循环中,i=4,未访问过位置4,进入内层循环,找到一个新的环cnt = 2
-
第一次内层循环:j=4,标记st[4]=true,没有访问位置4, a[4]=5,跳转到位置5。
-
第二次内层循环:j =5, 标记st[5] = true,没有访问过位置5,a[5] = 4,发现st[4] = true,退出内层循环。
5、在第五次外层循环中,i=5,已经访问过位置2,跳过内层循环。
在所有的外层循环结束后,共找到了2个环,分别为{1, 3, 2}和{4, 5}。
因此最少交换次数就是 k = 5 - 2 = 3.
完整代码如下:
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int a[N]; //储存初始顺序的数组
bool st[N]; //标记数组
int main(){
int n;
cin >> n;
//输入数组
for(int i=1;i<=n;i++){
cin >> a[i];
}
int cnt=0; //记录初始环数
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!st[i]){ //没有被标记,找到一个环的起点
cnt++;
for(int j=i;!st[j];j=a[j]){ //访问这个环,将这个环中所有结点都进行标记
st[j]=true;
}
}
}
cout << n-cnt;
}
关于求自环的部分文字参考了以下博客: