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【题目描述】
众所周知,对一元二次方程ax² + bx + c = 0,(a≠0),可以用下述方式求实数解:
- 计算△=b²-4ac,则:
1. 若△<0,则该一元二次方程无实数解;
2.否则△≥0,此时该一元二次方程有两个实数解x1,2=(-b±√△)/2a;
- 其中,√△表示△的算术平方根,即使得s²=△的唯一非负实数s。
-特别的,当△=0时,这两个实数解相等;当△>0时,这两个实数解互异。
例如:
- x²+x+1=0无实数解,因为△=1²-4×1×1=-3<0;
- x²-2x+1=0有两相等实数解x1,2=1;
- x²-3x+2=0有两互异实数解x1=1,x2=2;
在题面描述中a和b的最大公因数使用gcd(a,b) 表示。例如12和18的最大公因数是6, 即gcd(12,18) = 6。
现在给定一个一元二次方程的系数a,b,c,其中a,b,c均为整数且a≠0。你需要判断一元二次方程ax²+bx+c=0是否有实数解,并按要求的格式输出。
在本题中输出有理数v时须遵循以下规则:
- 由有理数的定义, 存在唯一的两个整数p和q, 满足q>0, gcd(p,q) =1且v=p/q。
- 若q=1,则输出{p};否则输出{p}/{q};其中{n}代表整数n的值;
- 例如:
- 当v=-0.5时,p和q的值分别为-1和2,则应输出-1/2;
- 当v=0时,p和q的值分别为0和1,则应输出0。
对于方程的求解,分两种情况讨论:
1.若△=b²-4ac<0,则表明方程无实数解,此时你应当输出NO;
2.否则△≥0,此时方程有两解(可能相等),记其中较大者为x,则:
(1).若x为有理数,则按有理数的格式输出。
(2).否则根据上文公式,x可以被唯一表示为x=q1+q2√r的形式,其中:
·q1,q2为有理数,且q2>0;
·r为正整数且r>1,且不存在正整数d>1使d²|r(即r不应是d²的倍数);
此时:
1.若q1≠0,则按照有理数的格式输出q1,并再输出一个加号+;
2.否则跳过这一步输出;
随后:
1.若q2=1, 则输出sqrt({r} ) ;
2.否则若q2为整数, 则输出{q2} * sqrt({r} ) ;
3.否则若q3=1/q2为整数, 则输出sqrt({r}) /{q3} ;
4.否则可以证明存在唯一整数c,d满足c,d>1, gcd(c,d) = 1且q2=c/d, 此时输出{c} * sqrt({r}) /{d} ;
上述表示中{n}代表整数n的值,详见样例。
如果方程有实数解,则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解,则输出NO。
【输入】
输入的第一行包含两个正整数T,M,分别表示方程数和系数绝对值的上界;
接下来T行,每行包含三个整数a,b,c。
【输出】
输出T行,每行包含一个字符串,表示对应询问的答案,格式如题面所述。
每行输出的字符串中间不应包含任何空格。
【输入样例】
9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1
【输出样例】
1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, m, a, b, c, delta, aa, bb, gcd1, gcd2, q2, r, ans;
int gcd(int a, int b)
{
while (b!=0) {
int r = a % b;
a = b;
b = r;
}
return a;
}
int main()
{
cin >> t >> m;
for (int i=1; i<=t; i++) {
cin >> a >> b >> c;
delta = b*b - 4*a*c;
aa = 2*a;
bb = -1*b;
if (a<0) { //当a<0时,对aa和bb进行处理,让a<0和a>0,都是统一解
aa = -1 * aa;
bb = -1 * bb;
}
q2 = 1, r = delta;
for (int i=2; i*i<=r; i++) { //对于任意的数,求出其q2和r。如果可开平方,则r=1
while (r%(i*i)==0) {
q2 = q2*i;
r = r/(i*i);
}
}
gcd1 = gcd(abs(bb), aa);
gcd2 = gcd(q2, aa);
if (r==1) { //针对r==1进行特判,修改delta和bb的值
delta = 0;
bb = bb+q2;
}
if (delta<0) {
cout << "NO" << endl;
continue;
}
if (delta==0) {
if (bb%aa==0) cout << bb/aa;
else cout << bb/gcd1 << "/" << aa/gcd1;
}
else { //即delta>0的场景
if (bb!=0) { //前半部分的输出,如果bb==0,则没有输出
if (bb%aa==0) cout << bb/aa;
else cout << bb/gcd1 << "/" << aa/gcd1;
cout << "+";
}
if (q2/gcd2!=1) cout << q2/gcd2 << "*";
cout << "sqrt(" << r << ")";
if (aa/gcd2!=1) cout << "/" << aa/gcd2; //处理分母的技巧,==1就不输出
}
cout << endl;
}
return 0;
}
【运行结果】
9 1000
1 -1 0
1
-1 -1 -1
NO
1 -2 1
1
1 5 4
-1
4 4 1
-1/2
1 0 -432
12*sqrt(3)
1 -3 1
3/2+sqrt(5)/2
2 -4 1
1+sqrt(2)/2
1 7 1
-7/2+3*sqrt(5)/2