系统微分方程为
作拉普拉斯变换
可得传递函数为
令状态变量为
z 2 = x ˙ z_2=\dot{x} z2=x˙
可得状态空间表达式
{ [ z ˙ 1 z ˙ 2 ] = [ 0 1 − K / m − B / m ] [ z 1 z 2 ] + [ 0 1 / m ] u y = [ 1 0 ] [ z 1 z 2 ] + [ 0 ] u \begin{cases}\quad\quad \begin{aligned} \left[\begin{matrix} \dot{z}_1\\ \dot{z}_2\\\end{matrix}\right] &=\left[\begin{matrix} 0&1\\ -{K}/{m}&-{B}/{m}\\\end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} z_1\\ z_2\\\end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix} 0\\ {1}/{m}\\\end{matrix}\right]u\\ \quad\\ y&=\left[\begin{matrix} 1&0\\\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} z_1\\ z_2\\\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix} 0\\\end{matrix}\right]u \end{aligned} \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧[z˙1z˙2]y=[0−K/m1−B/m][z1z2]+[01/m]u=[10][z1z2]+[0]u
⇒ { z ˙ = A z + B u y = C z + D u \Rightarrow\begin{cases} \color{blue}\dot{\pmb z}=\pmb {Az}+\pmb{B}u\\ \color{blue}y=\pmb{Cz}+\pmb{D}u\end{cases} ⇒{ z˙=Az+Buy=Cz+Du
状态空间表达式与传递函数有如下关系(将状态空间表达式进行拉普拉斯变换即可得到):
G ( s ) = C ( S I − A ) − 1 B + D \color{green}G(s)=C(SI-A)^{-1}B+D G(s)=C(SI−A)−1B+D
传递函数的极点决定系统的稳定性,而状态空间表达式中 A \pmb A A 的特征值决定系统的稳定性