1、定义
平常所谓“梯度”,是指一个空间位置函数的辩护率,在数学上就是它的微商。对于多元函数,它对每个空间坐标变量都有一个偏微商,如 ∂ Φ ∂ x , ∂ Φ ∂ y , ∂ Φ ∂ z \begin{aligned}\frac{\partial\Phi}{\partial x},\frac{\partial\Phi}{\partial y},\frac{\partial\Phi}{\partial z}\end{aligned} ∂x∂Φ,∂y∂Φ,∂z∂Φ 等。这些偏微商表示标量场 Φ ( x , y , z ) \Phi(x,y,z) Φ(x,y,z) 沿三个坐标方向的变化率。如果要问 Φ ( x , y , z ) \Phi(x,y,z) Φ(x,y,z) 沿任意方向 Δ l \Delta \pmb{l} Δl 的变化率是多少呢?
如图所示, P P P 是标量场中某个点,设此点标量场的数值是 Φ ( P ) \Phi(P) Φ(P),由 P P P 点引一个位移矢量 Δ l \Delta \pmb{l} Δl,到达附件的另一点 Q Q Q,设 Q Q Q 点标量场的数值为 Φ ( Q ) = Φ ( P ) + Δ Φ \Phi(Q)=\Phi(P)+\Delta\Phi Φ(Q)=Φ(P)+ΔΦ,令 Q → P , Δ l → 0 Q\rightarrow P,\Delta\pmb{l}\rightarrow 0 Q→P,Δl→0,则标量场沿 Δ l \Delta \pmb{l} Δl 方向的变化率为
∂ Φ ∂ l = lim Δ l → 0 Δ Φ Δ l (1) \frac{\partial \Phi}{\partial l}=\lim_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta l}\tag{1} ∂l∂Φ=Δl→0limΔlΔΦ(1)
∂ Φ ∂ l \begin{aligned}\frac{\partial \Phi}{\partial l}\end{aligned} ∂l∂Φ叫做标量场 Φ \Phi Φ 在 P P P 点沿 Δ l \Delta \pmb{l} Δl 方向的方向微商。
显然,在同一地方 P , Φ P,\Phi P,Φ 沿不同方向的方向微商一般来说是不同的。那么沿着哪个方向的方向微商最大呢?如上图所示,作通过 P 、 Q P、Q P、Q 两点 Φ \Phi Φ 的等值面,在两等值面上标量场的数值分别是 Φ ( P ) \Phi(P) Φ(P) 和 Φ ( P ) + Δ Φ \Phi(P)+\Delta\Phi Φ(P)+ΔΦ。在局部范围看来,两等值面近似平行。通过 P P P 点引等值面的法线与另一等值面交于 Q ′ Q^\prime Q′ 点。法线方向的位移矢量 Δ n = P Q ′ ⃗ \Delta \begin{aligned}\pmb{n}=\vec{PQ^\prime}\end{aligned} Δn=PQ′ 是两等值面间最短的位移矢量,其他方向的位移矢量都比 Δ n \Delta\pmb{n} Δn 长。例如对于上述位移矢量 Δ l \Delta \pmb{l} Δl,设它与 Δ n \Delta\pmb{n} Δn 的夹角为 θ \theta θ,则不难看出,
Δ n = Δ l cos θ ≤ Δ l 或 Δ = Δ n cos θ ≥ Δ n (2) \Delta n=\Delta l \cos\theta\leq\Delta l\quad 或\quad\Delta =\frac{\Delta n}{\cos\theta}\geq\Delta n\tag{2} Δn=Δlcosθ≤Δl或Δ=cosθΔn≥Δn(2)
沿 Δ n \Delta \pmb{n} Δn 方向的方向微商为
∂ Φ ∂ n = lim Δ n → 0 Δ Φ Δ n = lim Δ l → 0 Δ Φ Δ l 1 cos θ = ∂ Φ ∂ l 1 cos θ ≥ ∂ Φ ∂ l (3) \frac{\partial \Phi}{\partial n}=\lim_{\Delta n\rightarrow 0}\frac{\Delta \Phi}{\Delta n}=\lim_{\Delta l\rightarrow 0}\frac{\Delta\Phi}{\Delta l}\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\partial\Phi}{\partial l}\frac{1}{\cos\theta}\geq\frac{\partial\Phi}{\partial l}\tag{3} ∂n∂Φ=Δn→0limΔnΔΦ=Δl→0limΔlΔΦcosθ1=∂l∂Φcosθ1≥∂l∂Φ(3)
由此可见,沿 Δ n \Delta \pmb{n} Δn 方向的方向微商比任何其他方向的方向微商都大。
标量场的梯度定义为这样一个矢量,它沿方向微商最大的方向(即 Δ n \Delta \pmb{n} Δn 方向),数值上等于这个最大的方向微商(即 ∂ Φ ∂ n \begin{aligned}\frac{\partial \Phi}{\partial n}\end{aligned} ∂n∂Φ)。标量场 Φ \Phi Φ 的梯度通常记作 g r a d Φ \bold{grad} \Phi gradΦ 或 Δ Φ \Delta \Phi ΔΦ,根据上面的分析可知, Φ \Phi Φ 的梯度的方向总是与 Φ \Phi Φ 的等值面垂直的。
标量场的梯度是个矢量场。例如,电场中电势 U U U 是个标量场,它的负梯度等于场强 E \pmb{E} E,是个矢量场。
2、坐标表达式
直角坐标
Δ Φ = ∂ Φ ∂ x i + ∂ Φ ∂ y j + ∂ Φ ∂ z k (4) \Delta\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\pmb{i}+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\pmb{j}+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\pmb{k}\tag{4} ΔΦ=∂x∂Φi+∂y∂Φj+∂z∂Φk(4)
柱坐标
Δ Φ = ∂ Φ ∂ ρ e ρ + 1 ρ ∂ Φ ∂ φ e φ + ∂ Φ ∂ z e z (5) \Delta\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial \rho}\pmb{e_\rho}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial\Phi}{\partial \varphi}\pmb{e_\varphi}+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\pmb{e_z}\tag{5} ΔΦ=∂ρ∂Φeρ+ρ1∂φ∂Φeφ+∂z∂Φez(5)
球坐标
Δ Φ = ∂ Φ ∂ γ e γ + 1 γ ∂ Φ ∂ θ e θ + 1 r sin θ ∂ Φ ∂ φ e φ (6) \Delta\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial\gamma}e_\gamma+\frac{1}{\gamma}\frac{\partial\Phi}{\partial\theta}e_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial\Phi}{\partial\varphi}e_\varphi\tag{6} ΔΦ=∂γ∂Φeγ+γ1∂θ∂Φeθ+rsinθ1∂φ∂Φeφ(6)