4. 在复杂函数上的应用
我们来考虑一个稍微复杂一些的函数:
[ f(x, y) = x^2 + y^2 + 20\sin(5x) + 10\cos(3x) + 20\sin(5y) + 10\cos(3y) ]
目标是找到这个函数的最小值。
4.1 MATLAB的粒子群优化算法实现
对于多维度的问题,我们可以轻松地将之前的一维代码扩展到多维空间。
% 粒子群优化算法参数
num_particles = 50; % 粒子数量
num_iterations = 200; % 迭代次数
dim = 2; % 维度
c1 = 2; % 个体学习因子
c2 = 2; % 社会学习因子
w = 0.5; % 惯性权重
% 初始化粒子位置和速度
positions = -10 + 20*rand(num_particles, dim);
velocities = rand(num_particles, dim);
% 计算初始的函数值
values = arrayfun(@(i) func_value(positions(i,:)), 1:num_particles);
pBest_positions = positions; % 个体最优位置
pBest_values = values; % 个体最优值
[gBest_value, idx] = min(values); % 群体最优值
gBest_position = positions(idx,:); % 群体最优位置
% 优化函数
function val = func_value(pos)
x = pos(1);
y = pos(2);
val = x^2 + y^2 + 20*sin(5*x) + 10*cos(3*x) + 20*sin(5*y) + 10*cos(3*y);
end
% 开始优化
for iteration = 1:num_iterations
for i = 1:num_particles
% 更新速度
velocities(i,:) = w*velocities(i,:) + c1*rand()*(pBest_positions(i,:)-positions(i,:)) + c2*rand()*(gBest_position-positions(i,:));
% 更新位置
positions(i,:) = positions(i,:) + velocities(i,:);
% 更新个体和群体最优值
curr_value = func_value(positions(i,:));
if curr_value < pBest_values(i)
pBest_values(i) = curr_value;
pBest_positions(i,:) = positions(i,:);
end
end
[min_value, idx] = min(pBest_values);
if min_value < gBest_value
gBest_value = min_value;
gBest_position = pBest_positions(idx,:);
end
end
disp(['Optimized solution is at (x, y): ', num2str(gBest_position), ' with value: ', num2str(gBest_value)])
在上述代码中,我们定义了一个新的函数 func_value
来计算给定位置的函数值。这样,我们可以很容易地将其更改为任何其他函数,以便解决其他优化问题。
5. 注意事项
- 初始化:粒子的初始位置和速度决定了算法的起始搜索点。合适的初始化可以加快算法的收敛速度。
- 参数调整:PSO的效果很大程度上取决于参数的选择。在实际应用中,您可能需要多次调整参数以获得最佳结果。
- 边界处理:在实际问题中,解的每个维度通常都有上下界。为了保持粒子在有效的搜索空间内,需要对超出边界的粒子进行处理。
6. 总结
粒子群优化是一个强大的启发式搜索算法,可以有效地解决各种实际问题。通过MATLAB,我们可以轻松地实现和应用这个算法。
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