信号与线性系统翻转课堂笔记12——时域取样定理

信号与线性系统翻转课堂笔记12

The Flipped Classroom12 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1）了解信号取样的概念；
（2，重点）理想取样信号及其频谱：能利用频域方法，熟练分析理想取样过程及其频谱，掌握理想取样频谱的特点，与原信号频谱的关系以及取样信号频谱不发生混叠的条件；
（3）了解矩形脉冲取样过程及其频谱特点、不发生混叠的条件；
（4）由取样信号重构原信号的原理和方法：能够分别在时域和频域熟练分析采用理想低通滤波器进行重构的过程；
（5，重点）了解时域取样定理，能够基于时域取样定理熟练分析信号取样的奈奎斯特频率。

二、问题与解答

（1*）采用理想取样的方式对信号f(t)进行取样，所得取样信号的频谱与f(t)的频谱有何种联系？请基于频域卷积定理进行分析（要求画出f(t)、取样脉冲序列、取样信号的频谱）。这种取样过程满足什么条件时，取样信号的频谱不会发生混叠？
（2*）由于理想取样的周期冲激序列是不可实现的，实际应用中通常采用周期矩形脉冲进行取样，当采用周期矩形脉冲进行取样时，与理想取样相比，取样信号的频谱会有何不同？频谱有无混叠的条件会不会发生改变？请基于频域卷积定理，参考教材图4.9-4进行分析。
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（3）在取样信号频谱无混叠的条件下，欲由取样信号重构f(t)，可以采用一个理想低通滤波器（重构滤波器）对取样信号进行滤波。该重构滤波器的截止频率应该在哪个范围内取值？图1是这种重构过程的频域和时域分析示意图。请针对此图，根据自己的理解，叙述时域和频域重构的基本原理，并结合教材式（4.9-12）和图1(d)-(f)，说明为什么把"Sa"(t)称为取样（样本）信号？
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图1 无混叠条件下由理想取样信号重构原信号的频域和时域图解
（4*）图2(a)、(b)分别给出了无混叠和有混叠取样和重构的仿真结果。请基于信号取样与重建过程的原理，分析为什么对于两个不同频率的正弦信号进行取样，所恢复的却是相同频率（1kHz）的正弦信号？给出详细的分析思路和过程（重点针对有混叠的情形进行分析）。

图2（a）无混叠取样
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图2（b）有混叠取样
（5）针对第（4）题有混叠取样的结果，讨论：在实际工程应用中为什么对信号进行取样之前，往往需要先采用一个抗混叠滤波器对待取样的信号进行滤波（即如果不这样做，可能会有什么后果）？这种抗混叠滤波器是什么类型（低通、高通、带通等）的滤波器？其截止频率应如何选择？
（6*）分析习题4.48？请给出必要的分析过程和结果。
4.48、有限频带信号f(t)的最高频率为100Hz，若对下列信号进行时域采样，求最小取样频率f_s。
a、f(3t)
b、f^2(t)
c、f(t)*f(2t)
d、f(t)+f^2(t)

（7）设某带通信号f(t)的频谱F(jω)如图3所示，以采样频率ω_s=2rad/s对该信号进行时域取样，再用截止频率ω_s=1rad/s的理想低通滤波器对取样信号进行滤波，请分别分析取样信号和滤波输出信号的频谱。
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图3 带通信号f(t)的频谱

1、理想取样的频谱混叠

采用理想取样的方式对信号f(t)进行取样，所得取样信号的频谱与f(t)的频谱有何种联系？请基于频域卷积定理进行分析（要求画出f(t)、取样脉冲序列、取样信号的频谱）。这种取样过程满足什么条件时，取样信号的频谱不会发生混叠？

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所得取样信号的频谱是f(t)频谱等幅周期性延拓，幅度值相差1/Ts。

当采样频率（f_s）大于2倍的信号最高频率（f_m）时，不会发生混叠。

2、周期矩形脉冲取样

由于理想取样的周期冲激序列是不可实现的，实际应用中通常采用周期矩形脉冲进行取样，当采用周期矩形脉冲进行取样时，与理想取样相比，取样信号的频谱会有何不同？（第一问）频谱有无混叠的条件会不会发生改变？（第二问）请基于频域卷积定理，参考教材图4.9-4进行分析。
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（1）
F(jw)同样是以ws为周期对F(jw)的延拓，只是该周期延拓不是等幅的(幅度包络为取样信号)；
n= 0时, Fs (jw)=τF (jw )/Ts,包含原信号的全部信息，幅度差r/T倍。
（2）
频谱有无混叠的条件不会发生改变，仍然为f_s>2f_m。

3、信号重构滤波器

在取样信号频谱无混叠的条件下，欲由取样信号重构f(t)，可以采用一个理想低通滤波器（重构滤波器）对取样信号进行滤波。该重构滤波器的截止频率应该在哪个范围内取值？图1是这种重构过程的频域和时域分析示意图。请针对此图，根据自己的理解，叙述时域和频域重构的基本原理，并结合教材式（4.9-12）和图1(d)-(f)，说明为什么把"Sa"(t)称为取样（样本）信号？
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图1 无混叠条件下由理想取样信号重构原信号的频域和时域图解

该重构滤波器的截止频率应该满足Wm<Wc<Ws-Wm。
时域和频域重构的基本原理：通过一个低通滤波器把采样过后的频谱按照频率进行过滤，满足原信号的频率成分留下，不满足的过滤掉，剩下的即重构过的频谱。
因为连续信号f(t)可以展开成Sa函数的无穷级数，该级数的系数等于取样值f(nTs)。在取样信号fs(t)的每一个样点处，画一个最大峰值为f(nTs)的Sa函数波形，其合成波形就是原信号f(t)。

4、有混叠与无混叠取样与重构

图2(a)、(b)分别给出了无混叠和有混叠取样和重构的仿真结果。请基于信号取样与重建过程的原理，分析为什么对于两个不同频率的正弦信号进行取样，所恢复的却是相同频率（1kHz）的正弦信号？给出详细的分析思路和过程（重点针对有混叠的情形进行分析）。

图2（a）无混叠取样
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图2（b）有混叠取样

无混叠情况：输入信号频率为1KHz，取样频率为8KHz，满足，根据频域分析，恢复滤波器截止频率为1KHZ,能够恢复1KHz的原信号。
有混叠情况：输入信号频率为7KHz，取样频率为8KHz，不满足时域取样定理，即7KHz的频谱以8KHz为周期延拓，在W=1KHz和-1KHz处有频谱，恢复滤波器截止频率为1KHz,所以恢复的是1KHz的正弦信号。
无混叠：
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有混叠：