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2073: #6291. 小L进阶的斐波那契数列游戏
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Description
小L觉得普通斐波那契数列太无聊了,于是他决定研究一下高端玩法,比如斐波那契前n项的平方和。
输入格式
一行一个整数表示n。
输出格式
一行一个整数表示答案,对 1000000007。
样例
样例输入
4
样例输出
15
数据范围与提示
n≤10^15
矩阵快速幂,关键是如何构造。
A1=A2=1;
An=An-1+An-2(n>2)
Sn=A1^2+A2^2+......An^2;
所以 Sn=Sn-1+An^2.
(An+1)^2=(An+An-1)^2=An^2+(An-1)^2+2*An*An-1.
An*An+1=An*(An+An-1)=An^2+An*An-1
那么:
Sn 1 1 0 0 Sn-1
An+1 0 1 1 2 An
An^2 = 0 1 0 0 * An-1 ^2
An*An+1 0 1 0 1 An-1*An
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; struct node{ ll ar[4][4]; }; const ll mod=1e9+7; node fx(node a,node b) { node ans; memset(ans.ar,0,sizeof(ans.ar)); for(int i=0;i<4;i++) for(int j=0;j<4;j++) for(int k=0;k<4;k++) ans.ar[i][j]=(ans.ar[i][j]+a.ar[i][k]*b.ar[k][j])%mod; return ans; } ll findd(ll n) { node ans,a; memset(ans.ar,0,sizeof(ans.ar)); for(int i=0;i<4;i++) ans.ar[i][i]=1; memset(a.ar,0,sizeof(a.ar)); a.ar[0][1]=a.ar[0][0]=1; a.ar[1][1]=a.ar[1][2]=1;a.ar[1][3]=2; a.ar[2][1]=1; a.ar[3][1]=a.ar[3][3]=1; while(n) { if(n&1) ans=fx(ans,a); a=fx(a,a); n/=2; } return ans.ar[0][1]; } int main() { ll n; cin>>n; ll ans=findd(n); cout<<ans<<endl; return 0; }