[Noi2008]假面舞会

Description

一年一度的假面舞会又开始了，栋栋也兴致勃勃的参加了今年的舞会。今年的面具都是主办方特别定制的。每个参加舞会的人都可以在入场时选择一个自己喜欢的面具。每个面具都有一个编号，主办方会把此编号告诉拿该面具的人。为了使舞会更有神秘感，主办方把面具分为 $k$ ( $k$ ≥3)类，并使用特殊的技术将每个面具的编号标在了面具上，只有戴第 $i$ 类面具的人才能看到戴第 $i+1$ 类面具的人的编号，戴第k 类面具的人能看到戴第1 类面具的人的编号。参加舞会的人并不知道有多少类面具，但是栋栋对此却特别好奇，他想自己算出有多少类面具，于是他开始在人群中收集信息。栋栋收集的信息都是戴第几号面具的人看到了第几号面具的编号。如戴第2号面具的人看到了第5 号面具的编号。栋栋自己也会看到一些编号，他也会根据自己的面具编号把信息补充进去。由于并不是每个人都能记住自己所看到的全部编号，因此，栋栋收集的信息不能保证其完整性。现在请你计算，按照栋栋目前得到的信息，至多和至少有多少类面具。由于主办方已经声明了 $k$ ≥3，所以你必须将这条信息也考虑进去。

Input

第一行包含两个整数 $n$ , $m$ ，用一个空格分隔， $n$ 表示主办方总共准备了多少个面具， $m$ 表示栋栋收集了多少条信息。接下来 $m$ 行，每行为两个用空格分开的整数 $a$ , $b$ ，表示戴第 $a$ 号面具的人看到了第 $b$ 号面具的编号。相同的数对 $a, b$ 在输入文件中可能出现多次。

Output

包含两个数，第一个数为最大可能的面具类数，第二个数为最小可能的面具类数。如果无法将所有的面具分为至少3 类，使得这些信息都满足，则认为栋栋收集的信息有错误，输出两个-1。

Sample Input

输入样例一

输入样例二

Sample Output

输出样例一

4 4

输出样例二

-1 -1

HINT

100%的数据，满足 $n ≤ 100000$ , $m ≤ 1000000$ 。

解：

感觉是做过的 $noi$ 的比较简单的题了。假设 $a$ 可以看见 $b$ ,我们从 $a$ 向 $b$ 连一条有向边。很显然地可以想到，我们需要在整个图里找环。先来看一张图：
这里写图片描述
对于一个六元环，我们可以把它分成3组或者6组。那么我们发现对于一个环的 $size$ ，它的所有因数都是可以被分的。于是猜测：对于一个有环的图，所有简单环的 $gcd$ 就是答案。事实确实是这样的，我们并不需要统计复杂环，只需要所有简单环，因为复杂环可以通过简单环加减得到，而加减对于 $gcd$ 是没有影响的。
另外还有一种情况：
这里写图片描述
可以发现这是一种不合法的情况，然而图中并没有环。我们判环的时候并没有考虑所有的边。而反向边对环实际上是有影响的。我们想这个环的 $size$ 实际上是1，因为从红点走到蓝点两条路径差值是1。所以我们很容易可以想到对于每一条边连一个反向边权值为-1。完美的解决了这个问题。自然，这样零权是无意义的，负权环是要取反的。

特殊的，如果一个图里没有环，最小值是3，最大值是图中最长链的和，两个点的标记相减就是两个点的距离（做的时候傻了，用的dp）。
愉快地贴代码：

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
struct lxy{
    int to,next,len;
}eg[2000005];

int n,m,x,y,cnt,maxans=0,minans=0,ans=0;
int dis[100005],head[100005],fl[100005],fr[100005];
bool vis[100005];

void add(int op,int ed,int len){
    eg[++cnt].len=len;
    eg[cnt].next=head[op];
    eg[cnt].to=ed;
    head[op]=cnt;
}

int gcd(int xi,int yi){
    if(xi%yi==0) return yi;
    else return gcd(yi,xi%yi);
}

void addans(int v){
    if(maxans==0) maxans=v;
    else {
      if(v<maxans) swap(v,maxans);
      maxans=gcd(maxans,v);
    }
}

void dfs(int u,int r)
{
    vis[u]=1;dis[u]=r;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=eg[i].next)
    {
        if(vis[eg[i].to]==0) dfs(eg[i].to,r+eg[i].len);
        else if(vis[eg[i].to]==1){
            int QAQ=abs(eg[i].len+r-dis[eg[i].to]);
            if(QAQ!=0) addans(QAQ);
        }
    }
}

void dp(int u)
{
    vis[u]=1;
    for(int i=head[u];i!=-1;i=eg[i].next)
      if(vis[eg[i].to]==0)
      {
        dp(eg[i].to);
        ans=max(-fl[u]+eg[i].len+fr[eg[i].to],ans);
        ans=max(fr[u]-eg[i].len-fl[eg[i].to],ans);
        fr[u]=max(fr[u],fr[eg[i].to]+eg[i].len);
        fl[u]=min(fl[u],fl[eg[i].to]+eg[i].len);
      }
}

int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y,1);add(y,x,-1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
      if(vis[i]==0)
        dfs(i,0);
    if(maxans==0){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        minans=3;
        for(int i=1;i<=n;i++)
          if(vis[i]==0){
            ans=0;
            dp(i);maxans+=ans+1;
          }
        if(maxans<3) printf("-1 -1");
        else printf("%d %d",maxans,minans);
    }
    else{
        if(maxans<3) printf("-1 -1");
        else{
          for(int i=3;i<=maxans;i++)
            if(maxans%i==0){
              minans=i;break;
            }
          printf("%d %d",maxans,minans);
        }
    }
}