§5.6共轭空间和共轭算子习题课
1.设X是线性赋范空间,f是X上的非零有界线性泛函,
则存在x 0 ∈X,使得
X=N⊕{αx 0 |α∈C},
其中N是f的零空间.
分析:
∙要找到x 0 ∈X,使得X可以表示为f的零空间N
与x 0 张成的一维子空间的直接和.
∙这也就说f的零空间N比全空间X少一维.因此要
取x 0 ∉N.
证明:因为f是X上的非零有界线性泛函,则存在
x 0 ∈X,x 0 ≠0,使得f(x 0 )≠0.
令
M=N⊕{αx 0 |α∈C},
显然有
X⊇M,且N∩{αx 0 |α∈C}={0}.
下面证X⊆M.
对于∀x∈M,令
y=x−f(x)f(x 0 ) x 0 ,
则f(y)=0,从而y∈N.
因此x可表示为
x=y+f(x)f(x 0 ) x 0 .
由于N∩{αx 0 |α∈C}={0},故x的表示是唯一的.
这表明了X⊆M.
所以X=N⊕{αx 0 |α∈C}.
注:
∙非零有界线性泛函的零空间比全空间仅少一维.
2.试求下列定义在l 2 上的线性算子的共轭算子:
(1)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={0,x 1 ,x 2 ,⋯};
(2)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={α 1 x 1 ,α 2 x 2 ,⋯},
其中{α k }是有界数列;
(3)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={x 1 ,x 2 ,⋯,x n ,0,⋯},
其中n是给定的;
(4)T{x 1 ,x 2 ,⋯}={α n x n ,α n+1 x n+1 ,⋯},
其中{α k }是有界数列,n是给定的.
分析:l 2 是Hilbert空间,内积为(x,y)=∑ i=1 ∞ x i y i ¯ ¯ ¯ .
求l 2 上的线性算子的共轭算子,要用到Hilbert空间上的共轭算子
的定义5.3.5,即对于任意的x,y∈l 2 ,有
(Tx,y)=(x,T ∗ y).
解:(1)对∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 ,
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=x 1 y 2 ¯ ¯ ¯ +x 2 y 3 ¯ ¯ ¯ +⋯.
所以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={y 2 ,y 3 ,⋯}.
(2)对∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 ,
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=α 1 x 1 y 1 ¯ ¯ ¯ +α 2 x 2 y 2 ¯ ¯ ¯ +⋯.
所以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={α 1 ¯ ¯ ¯ ¯ y 1 ,α 2 ¯ ¯ ¯ ¯ y 2 ,⋯}.
(3)对∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 ,
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=x 1 y 1 ¯ ¯ ¯ +x 2 y 2 ¯ ¯ ¯ +⋯+x n y n ¯ ¯ ¯ .
所以T ∗ y=T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={y 1 ,y 2 ,⋯,y n ,0,⋯}.
(4)对∀x={x 1 ,x 2 ,⋯},y={y 1 ,y 2 ,⋯}∈l 2 ,
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=α n x n y 1 ¯ ¯ ¯ +α n+1 x n+1 y 2 ¯ ¯ ¯ +⋯.
所以T ∗ {y 1 ,y 2 ,⋯}={0,⋯,0,α n ¯ ¯ ¯ ¯ y 1 ,α n+1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y 2 ,⋯}.
注:
∙对于Banach空间l p (1<p<∞)上定义上述算子,
也可类似计算共轭算子.
但需要用到Banach空间共轭算子的概念,即对于任意
的x∈l p 及任意的f∈(l p ) ∗ ,
(T ′ f)(x)=f(T(x)).
此外还要考虑到(l p ) ∗ =l q ,即对于任意的f∈(l p ) ∗ ,
存在唯一的y∈l q 使得f(x)=∑ i=1 ∞ x i y i ¯ ¯ ¯ ,∀x∈l p .
3.求下列在L 2 (−∞,∞)上定义的线性算子的共轭算子:
(1)(Tx)(t)=x(t+h)(h是给定的实数);
(2)(Tx)(t)=a(t)x(t+h)(a(t)是有界可测函数,h是给定的实数);
(3)(Tx)(t)=12 [x(t)+x(−t)].
分析:L 2 (−∞,∞)是Hilbert空间,内积为
(x,y)=∫ ∞ −∞ x(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt.
求L 2 (−∞,∞)上的线性算子的共轭算子,要用到
Hilbert空间上的共轭算子的定义5.3.5.
解(1)因为对∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ x(t+h)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt
=∫ ∞ −∞ x(t)y(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt
故(T ∗ y)(t)=y(t−h).
(2)因为对∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ a(t)x(t+h)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt
=∫ ∞ −∞ x(t)a(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt.
故(T ∗ y)(t)=a(t−h) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ y(t−h).
(3)因为对∀x,y∈L 2 (−∞,∞)有
(x,T ∗ y)=(Tx,y)=∫ ∞ −∞ 12 [x(t)+x(−t)]y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt
=∫ ∞ −∞ x(t)[y(t)+y(−t)] ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 dt
故(T ∗ y)(t)=12 [y(t)+y(−t)].
4.设L是Hilbert空间H上的有界线性算子.证明下列关系式
N(L ∗ )=N(LL ∗ );R(L) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =R(LL ∗ ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ .
分析:利用共轭算子定义5.3.5及定理5.3.8,
R(A) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =N(A ∗ ) ⊥ .
证明:(1)对∀x∈N(L ∗ ),则L ∗ (x)=0,从而
LL ∗ (x)=0.
因此x∈N(LL ∗ ).
另一方面,对∀x∈N(LL ∗ ),则LL ∗ (x)=0.
结合共轭算子定义可知
(L ∗ x,L ∗ x)=(x,LL ∗ x)=(x,0)=0.
因此L ∗ x=0,从而x∈N(L ∗ ).
综上可知N(L ∗ )=N(LL ∗ ).
(2)由定理5.3.8可得
R(L) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =N(L ∗ ) ⊥ =N(LL ∗ ) ⊥ =R(LL ∗ ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
5.设T是Hilbert空间H中的自共轭算子且有有界逆算子,
证明:T −1 也是自共轭算子.
分析:证明T −1 是自共轭的,由自共轭算子的定义5.4.1
和共轭算子的定义5.3.5,需要证明对∀x,y∈H,
(T −1 x,y)=(x,T −1 y).
也可以用共轭算子的性质((T −1 ) ∗ =(T ∗ ) −1 )直接证明.
证明:因为T −1 存在且有界且T是自共轭的,所以对于任意的x,y∈H,
(T −1 x,y)=(T −1 x,TT −1 y)=(TT −1 x,T −1 y)=(x,T −1 y).
因此T −1 也是自共轭算子.
6.设T:L 2 [0,1]→L 2 [0,1]由(Tx)(t)=tx(t)定义,
证明:T是自共轭的有界线性算子.
分析:首先证明T有界,然后利用自共轭算子定义5.4.1
以及共轭算子的定义5.3.5证明T是自共轭的.
证明:显然T是线性的,且对∀x∈L 2 [0,1]有
∥Tx∥=(∫ 1 0 t 2 |x(t)| 2 dt) 12 ≤(∫ 1 0 |x(t)| 2 dt) 12 =∥x∥.
故T是有界线性算子.
对∀x,y∈L 2 [0,1]有
(Tx,y)=∫ 1 0 tx(t)y(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt=∫ 1 0 x(t)ty(t) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ dt=(x,Ty).
由共轭算子的定义可知
T=T ∗ .
即T是自共轭的.
注:
∙从上面几个题目可以看到,Hilbert空间H上的共轭算子
的概念很关键.
T的共轭算子T ∗ 满足,对于任意的x,y∈H,
(Tx,y)=(x,T ∗ y).
T是有界自共轭的,如果T=T ∗ ,即对于任意的x,y∈H,
(Tx,y)=(x,Ty).
7.设H为复Hilbert空间,T为H上的有界线性算子,
若对一切x∈H,Re(Tx,x)=0,则T=−T ∗ .
分析:可分三步证明,本题用到定理5.3.6、定理5.4.8:
1)构造B=T+T ∗ ,证明B是自共轭的.
2)证明:(Bx,x)=0,∀x∈H.
3)∥B∥=sup{|(Bx,x)||x∈H,∥x∥=1}=0⇒B=0.
证明:令B=T+T ∗ ,则B ∗ =T ∗ +T ∗∗ =B,从而B为自共轭算子.
对于任意x∈H,有
(Bx,x)=(Tx,x)+(T ∗ x,x)
=(Tx,x)+(x,Tx)=2Re(Tx,x)=0.
由于
∥B∥=sup{|(Bx,x)||x∈H,∥x∥=1}=0,
故B=0.因此T=−T ∗ .
注:
∙本题主要用到自共轭算子T的范数表示(定理5.4.8),
∥T∥=sup{∥Tx∥|x∈H,∥x∥=1}
=sup{|(Tx,y)||x∈H,∥x∥=1,∥y∥=1}
=sup{|(Tx,x)||x∈H,∥x∥=1}.
8.设X是赋范线性空间,M为X的闭线性子空间.
证明:如果{x n }⊂M,并且当n→∞时x n → ω x 0 ,
则x 0 ∈M.
分析:本题用到弱收敛的定义5.5.6以及Hahn−Banach定理的推论5.1.6.
证明:假设x 0 ∉M.令
d=dist(x 0 ,M)>0,
由Hahn−Banach定理的推论可知,存在f∈X ∗ ,使得
∥f∥=1d ,f(x 0 )=1,f(x)=0,∀x∈M.
由于x n → ω x 0 ,故f(x n )→f(x 0 )(n→∞).
又由{x n }⊂M可知f(x n )=0,从而f(x 0 )=0.
这与f(x 0 )=1矛盾.因此x 0 ∈M.
注:注意比较弱收敛与范数收敛.
∵|f(x n )−f(x)|=|f(x n −x)|≤∥f∥∥x n −x∥,
∴x n →x(n→∞)⇒f(x n )→f(x)(n→∞),
即如果{x n }按范数收敛到x,则{x n }必弱收敛到x.
反之则不然,
▶例如:我们在Hilbert空间l 2 中考虑:取
x n ={0,⋯,1,0,⋯}(n=1,2,⋯),
则对于任意y={ξ n }∈l 2 ,
(x n ,y)=ξ n →0=(0,y)(n→∞),
但当m≠n时,∥x n −x m ∥=2 √ ,{x n }不按范数收敛到0.