最大子数组
给定一个数组A[0,…,n-1],求A的连续子数组,使得该子数组的和最大。
例如数组: 1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5
最大子数组:3, 10, -4, 7, 2
算法分析
定义:前缀和sum[i] = a[0] + a[1] + …+a[i]
则:a[i,j]=sum[j]-sum[i-1](定义sum[-1] = 0)
算法过程
1. 求i前缀sum[i]:
遍历i:0≤i≤n-1
sum[i]=sum[i-1]+a[i]
2. 计算以a[i]结尾的子数组的最大值对于某个i:遍历0≤j≤i,求sum[j]的最小值m
sum[i]-m即为以a[i]结尾的数组中最大的子数组的值
3. 统计sum[i]-m的最大值, 0≤i≤n-1
1、2、3步都是线性的,因此,时间复杂度O(n)。
进一步的分析
记S[i]为以A[i]结尾的数组中和最大的子数组
则:S[i+1] = max(S[i]+A[i+1], A[i+1])
S[0]=A[0]
遍历i: 0≤i≤n-1
动态规划:最优子问题
时间复杂度:O(n)
Python代码
# 输出最大子数组的和
def max_subarray(li):
if li is None or len(li) == 0:
return 0
s = li[0] # 当前子串的和
result = s # 当前找到的最优解
for i in range(len(li)):
if s > 0:
s += li[i]
else:
s = li[i]
result = max(s, result)
return result
# 除了输出最大子数组的和,还需要输出最大子数组本身
def max_subarray2(li):
if li is None or len(li) == 0:
return 0
s = li[0] # 当前子串的和
result = s # 当前找到的最优解
fromIndex = toIndex = 0 # from=to=0
fromIndexNew = 0 # 新的子数组起点
for i in range(len(li)):
if s > 0:
s += li[i]
else:
s = li[i]
fromIndexNew = i
if result < s:
result = s
fromIndex = fromIndexNew
toIndex = i
print(li[fromIndex:toIndex + 1])
return result
if __name__ == '__main__':
li = [1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]
result = max_subarray2(li)
print(result)
输出结果:
[3, 10, -4, 7, 2]
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