基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 40
难度:4级算法题
有N种物品,每种物品的数量为C1,C2......Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里,每种物品的体积为W1,W2......Wn(Wi为整数),与之相对应的价值为P1,P2......Pn(Pi为整数)。求背包能够容纳的最大价值。
Input
第1行,2个整数,N和W中间用空格隔开。N为物品的种类,W为背包的容量。(1 <= N <= 100,1 <= W <= 50000) 第2 - N + 1行,每行3个整数,Wi,Pi和Ci分别是物品体积、价值和数量。(1 <= Wi, Pi <= 10000, 1 <= Ci <= 200)
Output
输出可以容纳的最大价值。
Input示例
3 6 2 2 5 3 3 8 1 4 1
Output示例
9
题解:典型的多重背包题目,对于某种物品,可以将其分解成,转变成01背包问题求解。但本题如此操作会T。我们注意到,对于多重背包中的任意一个具有C数量的物品,我们只需要将其范围(0 ~ C)都能取得即可,故我们可以进行二进制分解;
假设C = 1 + 2 + 4 + 。。。。 + 2 ^m + k(k < 2 ^(m + 1));那么只需要1 .. 2 .. 4 .....2^m..k这m + 1个数的随机组合即可获得0 ~ C内的任何一个数(1 .. 2 .. 4 .....2^m可以获得0到 2^(m + 1)内的任意数,加入k后下界不变,上界变成C)。使得复杂度从O(C * W * N)降为O(log(C) * W * N).
Ac代码
#include <stdio.h> #include <iostream> #include <string> #include <queue> #include <map> #include <vector> #include <algorithm> #include <string.h> #include <cmath> using namespace std; const int maxn = 55555; int dp[maxn], num[maxn]; struct node{ int w, p, c; }p[111]; int main(){ int n, w; scanf("%d%d", &n, &w); for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d %d %d", &p[i].w, &p[i].p, &p[i].c); for(int i = 0; i <= w; i++) dp[i] = 0; for(int i = 0; i < n; i++){ for(int j = 0; j <= w; j++) num[j] = 0; int c = p[i].c; for(int j = 1; j < c; j <<= 1){ for(int k = w; k - p[i].w * j >= 0; k--) dp[k] = max(dp[k], dp[k - p[i].w * j] + j * p[i].p); c -= j; } int j = c; for(int k = w; k - p[i].w * j >= 0; k--) dp[k] = max(dp[k], dp[k - p[i].w * j] + j * p[i].p); } printf("%d\n", dp[w]); return 0; }