题目
已知 ,求M的因数的欧拉函数和(欧拉函数 :1至M中与M互质的个数),分成三种情况输出,当M的因数是偶数个不同奇素数的积,那么它是政客,当M的因数是奇数个不同奇素数的积,那么它是军人,当都不成立,就是学者。分三个职业输出。PS:题目不包括欧拉函数、因数不包括1,所以下面减去1
分析
由于
学者
比较难求,所以可以变成M-1-
政客
-
军人
。只要证明
就可以了
证:设
,利用乘法分配律,因为
是积性函数,得到
若n,m互质,则
即
是积性函数。对于
(p是质数)
是一个等比数列求和+1,答案是
,所以
证明了一大堆,那么怎么求政客和军人,用数组f[i][0]表示前i个数挑出政客的答案和,f[i][1]表示前i个数挑出军人的答案和。初值就是
dp,状态转移方程:
PS:
在求M的时候要快速幂(程序中数组开了滚动数组)
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
#define mod 10000
using namespace std;
int p,e,f[2][2],m=1,n;
int in(){
int ans=0; char c=getchar();
while (!isdigit(c)) c=getchar();
while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
return ans;
}
int ksm(int x,int y){
int ans=1;
while (y){
if (y&1) ans=(ans*x)%mod;
x=(x*x)%mod; y>>=1;
}
return ans;
}
int main(){
n=in(); p=in(); e=in();
m=m*ksm(p,e)%mod;
if (p==2) f[1][0]=1;
else {
f[0][0]=1;
f[1][0]=(f[0][0]+f[0][1]*(p-1)%mod)%mod;
f[1][1]=(f[0][1]+f[0][0]*(p-1)%mod)%mod;
}
for (int i=2;i<=n;i++){
p=in();e=in(); m=m*ksm(p,e)%mod;
f[i&1][0]=(f[~-i&1][0]+f[~-i&1][1]*(p-1)%mod)%mod;
f[i&1][1]=(f[~-i&1][1]+f[~-i&1][0]*(p-1)%mod)%mod;
}
f[n&1][0]--; m-=(1+f[n&1][0]+f[n&1][1]);
return !printf("%d\n%d\n%d",f[n&1][0],f[n&1][1],(m%mod+mod)%mod);
}