题目

已知$M=p_1^{c_1}p_2^{c_2}p_3^{c_3}p_n^{c_n}$，求M的因数的欧拉函数和（欧拉函数$\varphi(M)$：1至M中与M互质的个数）,分成三种情况输出，当M的因数是偶数个不同奇素数的积，那么它是政客，当M的因数是奇数个不同奇素数的积，那么它是军人，当都不成立，就是学者。分三个职业输出。PS：题目不包括欧拉函数、因数不包括1，所以下面减去1

分析

由于$\sum\varphi($学者$)$比较难求，所以可以变成M-1-$\sum\varphi($政客$)$-$\sum\varphi($军人$)$。只要证明$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$就可以了
证：设$f(n)=\sum_{d|n}\varphi(d)$,利用乘法分配律，因为$\varphi$是积性函数，得到
若n,m互质,则$f(nm)=\sum_{d|nm}\varphi(d)=(\sum_{d|n}\varphi(d))*(\sum_{d|m}\varphi(d))=f(n)*f(m)$
即$f(n)$是积性函数。对于$f(p^m)$(p是质数)
$f(p^m)=\sum_{d|p^m}\varphi(d)=\varphi(1)+\varphi(p)+\varphi(p^2)+...+\varphi(p^n)$
是一个等比数列求和+1，答案是$p^m$,所以$f(n)=\Pi _{i=1}^{m}f(p_i^{c_i})=\Pi_{i=1}^mp_i^{c_i}=n$
证明了一大堆，那么怎么求政客和军人，用数组f[i][0]表示前i个数挑出政客的答案和，f[i][1]表示前i个数挑出军人的答案和。初值就是$f[1][0]=1或f[0][0]=1(质因数含2或不含2)$
dp，状态转移方程：$f[i][0]=f[i-1][0]+f[i-1][1]*(p-1)$
$f[i][1]=f[i-1][1]+f[i-1][0]*(p-1)$
PS:$\varphi(p)=p-1|p是质数$在求M的时候要快速幂（程序中数组开了滚动数组）

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#define mod 10000
using namespace std;
int p,e,f[2][2],m=1,n;
int in(){
    int ans=0; char c=getchar();
    while (!isdigit(c)) c=getchar();
    while (isdigit(c)) ans=ans*10+c-48,c=getchar();
    return ans;
}
int ksm(int x,int y){
    int ans=1;
    while (y){
        if (y&1) ans=(ans*x)%mod;
        x=(x*x)%mod; y>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    n=in(); p=in(); e=in();
    m=m*ksm(p,e)%mod; 
    if (p==2) f[1][0]=1; 
    else {
        f[0][0]=1;
        f[1][0]=(f[0][0]+f[0][1]*(p-1)%mod)%mod;
        f[1][1]=(f[0][1]+f[0][0]*(p-1)%mod)%mod;
    }
    for (int i=2;i<=n;i++){
        p=in();e=in(); m=m*ksm(p,e)%mod;
        f[i&1][0]=(f[~-i&1][0]+f[~-i&1][1]*(p-1)%mod)%mod;
        f[i&1][1]=(f[~-i&1][1]+f[~-i&1][0]*(p-1)%mod)%mod;
    }
    f[n&1][0]--; m-=(1+f[n&1][0]+f[n&1][1]);
    return !printf("%d\n%d\n%d",f[n&1][0],f[n&1][1],(m%mod+mod)%mod);
}