题目大意:给定\(a,b,n\),让你求出\([a,b]\)中有多少数与\(n\)互质。
还是经典起手式,我们把问题\(f(a,b)\)转化为\(f(b)-f(a-1)\),然后考虑求解\(f(x)\)
我们转换问题,求互质的数比较困难,那我们求出不互质的数。
这个很好求,我们对于一个质因数\(p\),在\([1,x]\)的范围中有\(\lfloor \frac{x}{p} \rfloor\)个数与它不互质。
那么两个质因数的重复部分呢,就因为多算了要减掉,这样的话三个数的就要加上。
然后我们发现——这不就是个容斥吗!我们直接上\(O(2^n)\)的暴力枚举即可。
由于\(a,b\le10^{15}\),因此我们计算一下,最坏情况下\(2\times 3\times 5\times 7\dots\)到第\(15\)个数左右就越界了,因此复杂度可行。
CODE
#include<cstdio>
#include<cctype>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=20;
int prime[N],t,n,cnt;
LL a,b;
inline void resolve(int n)
{
for (register int i=2;i*i<=n;++i)
{
if (!(n%i)) prime[cnt++]=i;
while (!(n%i)) n/=i;
}
if (n>1) prime[cnt++]=n;
}
inline LL work(LL n)
{
LL ans=0;
for (register int i=1;i<(1<<cnt);++i)
{
int t=0; LL tot=1;
for (register int j=0;j<cnt;++j)
if ((1<<j)&i) ++t,tot*=prime[j];
if (t&1) ans+=n/tot; else ans-=n/tot;
}
return n-ans;
}
int main()
{
register int i; scanf("%d",&t);
for (i=1;i<=t;++i)
{
scanf("%lld%lld%d",&a,&b,&n); cnt=0;
resolve(n); printf("Case #%d: %lld\n",i,work(b)-work(a-1));
}
return 0;
}