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具体数学
组合数学 richard
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Sample

1.用数字$0-9$每个恰好一次共能产生多少个排列
$10!$,那如果首位不为0呢？$10!-9!$

2.一个小tip若有理数$\frac{m}{n}$是无限小数，则必然是无限循环小数

3.字母$a - f$按顺序入栈，但随时可以出栈，形成的出栈序列有132种（卡特兰数）

4.将2*2的网格黑白染色，旋转不同构的染色方案有6种

组合数相关

加法原理

乘法原理

鸽笼原理（抽屉原理）
(图论上的应用) $Ramsey$定理

排列
n个元素的集合，写成一个序列的方式有$A(n)=n!$或$P(n)=n!$

需要注意的是

如果是排成一个环

就是$\frac{n!}{n} = (n-1)!$
因为，对于原来的每一种排列，都能找到另外的$n-1$个排列，与它在排成环的情况下相等

错排

$f[i]=(n-1)*(f[i-1]+f[i-2]$

我们考虑第n个人如果放在第i个人的位置上，如果i放在n的位置上，那么剩下的情况就是$f[n-2]$，如果i不在n的位置上，又相当于求了一个$f[n-1]$，因为i有$n-1$种取值，所以就像上述的式子了

多重集的全排列

元素可以重复的集合的全排列

组合数

$n\choose {m}$ =$\frac{n!}{m!(n-m)!}$

n个元素选m个的方案数

其中$n\choose{0}$=1

杨辉三角形可以用来算组合数

n个相同的球，放到m个不同的盒子里
1>每个盒子至少有一个球
隔板法
$n-1\choose m-1$

2>盒子可以为空
$n+m-1\choose m-1$ 相当于n+m个球，分到m组

3>至少两个球
我们考虑先把每个盒子填一个球，那么就变成了$n-m$个球，然后放的时候要求每个盒子至少有一个球就可以
$n-m-1\choose m-1$

bzoj2729
n个男生，m个女生，2名老师排成一行，老师和老师不能相邻，女生和女生不能相邻

老师可以相邻的数量 - 把两个老师捆绑起来的数量

二项式定理

组合数计算

1>$n,m\le10^3,p\le10^9$
直接杨辉三角形
$C[n][m]=C[n-1][m-1]+C[n-1][m]$

2>$n,m\le10^6,p\le10^9$
如果p能直接分解乘质数的一次方相乘，可以用CRT，也可以直接将$n!$质因数分解

3>$n,m\le10^{18},p\le10^3$
卢卡斯定理

4>$n,m\le10^9,p\le10^5$
首先将p进行质因数分解，然后直接用CRT，或者，把p的质因子在A，B中去掉，然后求出A B去掉之后是多少，最后CRT合并

$(p-1)!\ mod\ p\ = p-1$
这里介绍一种方法:求n!质因数分解后p^几次方
$n/p+n/p*p+n/p*p*p \cdots$

tyvj 1298分苹果
n个有区别的苹果，分到3个无区别的袋子中的方案数

$3^n$是指当成有区别的，除以6是因为实际上是无区别，-3是因为当只有一个袋子有苹果的时候，他的情况是3倍而不是6倍，不能直接处，所以先减掉，然后后来再加回来

斯特林数

二类：
n个不同的小球，放到k个相同的盒子，每个盒子至少放一个球的种数

$f[n][k]=k*f[n-1][k]+f[n-1][k-1]$

那如果k个盒子不同呢？
$k!*f[n][k]$即可

可以理解为k个盒子的编号有$k!$种

一类
将n个不同元素排成k个非空环排列的方法数：
$g[n][k]=(n-1)*g[n-1][k]+g[n-1][k-1]$

Catalan数

1 1 2 5 14 42 132
$C)_ n = \frac{\binom{2n}{n}}{n+1}=\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$

$C_n+1 = \sum_{i=0}^{n}C_iC_{n-i}$

例子：

有n个$+1$,n个$-1$，每个前缀和都$\ge$0的方案数。

n个左括号，n个右括号的合法序列
$n$个节点构成二叉树的数量

进栈次序是$1,2,3\cdots n$的出栈顺序

n+1边形的三角剖分数量