P1006 传纸条
题目描述
小渊和小轩是好朋友也是同班同学,他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中,班上同学安排做成一个mm 行 nn 列的矩阵,而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端,因此,他们就无法直接交谈了。幸运的是,他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里,小渊坐在矩阵的左上角,坐标 (1,1(1,1 ),小轩坐在矩阵的右下角,坐标 (m,n)(m,n) 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递,从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。
在活动进行中,小渊希望给小轩传递一张纸条,同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递,但只会帮他们一次,也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙,那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。
还有一件事情需要注意,全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低(注意:小渊和小轩的好心程度没有定义,输入时用 00 表示),可以用一个 0-1000−100 的自然数来表示,数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条,即找到来回两条传递路径,使得这 22 条路径上同学的好心程度之和最大。现在,请你帮助小渊和小轩找到这样的 22 条路径。
输入输出格式
输入格式:输入文件,第一行有 22 个用空格隔开的整数 mm 和 nn ,表示班里有 mm 行 nn 列。
接下来的 mm 行是一个 m \times nm×n 的矩阵,矩阵中第 ii 行 jj 列的整数表示坐在第 ii 行 jj 列的学生的好心程度。每行的 nn 个整数之间用空格隔开。
输出格式:输出文件共一行,包含一个整数,表示来回 22 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。
输入输出样例
说明
【限制】
30%的数据满足: 1 \le m,n \le 101≤m,n≤10
100%的数据满足: 1 \le m,n \le 501≤m,n≤50
NOIP 2008提高组第三题
方法一:在数据较小的时候,四维动归是完全可以的,但数据较大时,就不行
#include<stdio.h>
#include <iostream>
#define MAXN 55
using namespace std;
int a[MAXN][MAXN];
int dp[MAXN][MAXN][MAXN][MAXN];
//dp[i][j][k][l]表示从(0, 0)位置由两条不交叉的线路走到(i, j)(k, l)位置时的最大好感度和
//两条不相交的线路,虽然一从左上,一个从右下,但因为算的是最大值,于是可以都看成是从左上出发,到右下,规定一条为左,一条为右,这样避免了重复
//这样前进的方向只能向下,或向右
//状态转移方程:
//max_four(f[i][j-1][k-1][l],f[i-1][j][k][l-1],f[i][j-1][k][l-1],f[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l]; 前一个状态有四个
int max_four(int a,int b,int c,int d)
{
if(b>a)
a=b;
if(c>a)
a=c;
if(d>a)
a=d;
return a;
}
int main()
{
int n,m;
int i,j,k,l;
cin>>n>>m;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
cin>>a[i][j];
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=m;j++)
for(k=1;k<=n;k++)
for(l=j+1;l<=m;l++) //第二条在第一条的右边。
dp[i][j][k][l]=max_four(dp[i][j-1][k-1][l],dp[i-1][j][k][l-1],dp[i][j-1][k][l-1],dp[i-1][j][k-1][l])+a[i][j]+a[k][l];
cout << dp[n][m-1][n-1][m] << endl;//因为开始和结尾都是0,这个算法又是连起点,终点都不会重合的算法,所以不能dp[n][m][n][m]]4
return 0; //非得算上开头和结尾的话,也是最后才算,在这最后一步加上 开头和结尾的值
}
方法2:
斜线法
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define MAXN 55
int a[MAXN][MAXN];
int dp[2*MAXN][MAXN][MAXN];//dp[k][i][j]表示的是第k条斜线上,以第i列,第j列的两个点为进出口时,得到路径的最大值。
//因为是同步前进,所以可以用斜线来表示,即斜线可以表示同步前进的两条路线。
//四种前一状态:dp[k-1][i][j]; //1下,2下
// dp[k-1][i][j-1]; //1下,2右
// dp[k-1][i-1][j]; //1右,2下
// dp[k-1][i-1][j-1]; //1右,2右
int main()
{
int i,j,k;
int m,n;
scanf("%d%d",&m,&n);
for(i=1;i<=m;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&a[i][j]);
memset(dp,-1,sizeof(dp)); //赋初值为-1 (原因在后面)
dp[2][1][1]=0; //最初的点,在左上角,好感度为0
for(k=3;k<=m+n-1;k++) //k的范围(3~m+n-1) ,即共有m+n-3条斜线
for(i=1;i<n;i++)
for(j=i+1;j<=n;j++)
{
int s=dp[k][i][j]; //用斜线法会有越界的情况。
s=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i-1][j]),max(dp[k-1][i][j-1],dp[k-1][i-1][j-1])); //这只是简单的递推关系,所以不需要和之前进行比较
if(s==-1)continue; //当s为-1时,说明四种情况都不能到该点,故不存在。
dp[k][i][j]=s+a[k-i][i]+a[k-j][j];
}
printf("%d\n",dp[m+n-1][n-1][n]);
return 0;
}