网络流24题
说在前边
- 一直没有完整的刷过这套题,打算最近一点点刷掉
- 通过《最小割模型在信息学竞赛中的应用》及《浅析一类最小割问题》学习常规建图技巧
飞行员配对方案问题
二分图最大匹配
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 202;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d",&m,&n);
for(int i=1;i<=n+2;++i) h[i]=-1;
st=n+1;ed=n+2;
int u,v;
while(scanf("%d%d",&u,&v)!=EOF) {
if(u==-1&&v==-1)break;
add(u,v,1);
}
for(int i=1;i<=m;++i) add(st,i,1);
for(int i=m+1;i<=n;++i) add(i,ed,1);
printf("%d\n",dinic());
int f=0;
for(int i=1;i<=m;++i) {
for(int j=h[i];~j;j=E[j].nxt) {
if(E[j].w==0&&E[j].e<=n)printf("%d %d\n",i,E[j].e),f=1;
}
}
if(!f) puts("No Solution!");
return 0;
}
太空飞行计划问题
最大权闭合子图,正点权连源,负点权连汇,点权的绝对值作为边权。原本图中的边容量为无穷。割集将图的源汇分开,与源点相通的点就是最大权闭合子图的点集。
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 100005;
const int N = 500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+m+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
vector<int> v,v1,v2;
int vis[N];
void dfs2(int u) {
vis[u]=1;
if(u>=1&&u<=m)v1.push_back(u);
if(u>m&&u<=n+m) v2.push_back(u-m);
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!vis[v]&&E[i].w>0)dfs2(v);
}
}
int a[N],b[N];
int main() {
scanf(" %d %d ",&m,&n);
memset(h,-1,sizeof(h));
st=m+n+1;ed=st+1;
int ans = 0;
for(int i=1;i<=m;++i) {
string s;v.clear();
getline(cin,s);int c=0;
while(1){
int tmp = 0;
while(s[c]>='0'&&s[c]<='9'&&c<s.size()) tmp=tmp*10+s[c]-'0',++c;
v.push_back(tmp);
if(c==s.size()) break;
while(s[c]<'0'||s[c]>'9'&&c<s.size()) ++c;
}
add(st,i,v[0]);
ans+=v[0];
a[i]=v[0];
for(int j=1;j<v.size();++j) {
add(i,v[j]+m,inf);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i) {int x;
scanf("%d",&x);b[i]=x;
add(i+m,ed,x);
}
ans-=dinic();
dfs2(st);
int t=0;
for(auto x: v1)printf("%d ",x),t+=a[x];puts("");
for(auto x: v2)printf("%d ",x),t-=b[x];puts("");
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
最小路径覆盖问题
DAG最小路径覆盖,拆点二分图最大匹配。分析见这里
#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int M = 1000005;
const int N = 1500;
using namespace std;
int m,n;
struct edge{int e,nxt,w;}E[M<<1];
int h[N],cc;
void add(int u,int v,int w) {
E[cc].e=v;E[cc].w=w;E[cc].nxt=h[u];h[u]=cc;++cc;
E[cc].e=u;E[cc].w=0;E[cc].nxt=h[v];h[v]=cc;++cc;
}
int d[N],q[M],st,ed;
int bfs() {
int l=0,r=0;
for(int i=1;i<=n+n+2;++i) d[i]=0;
q[r]=st;++r;d[st]=1;
while(l<r) {
int u=q[l];++l;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(!d[v]&&E[i].w) {
d[v]=d[u]+1;
q[r]=v;++r;
if(v==ed)return 1;
}
}
}
return 0;
}
int dfs(int u,int fl) {
if(u==ed)return fl;
int s=fl,t;
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(d[v]==d[u]+1&&E[i].w&&s) {
t=dfs(v,min(E[i].w,s));
s-=t;
E[i].w-=t;E[i^1].w+=t;
if(s==0)return fl;
}
}
if(s==fl) d[u]=0;
return fl-s;
}
int dinic() {
int ans=0;
while(bfs())ans+=dfs(st,inf);
return ans;
}
int vis[N],in[N];
vector<int> G[N];
void dfs2(int u) {
vis[u]=1;
printf("%d ",u);
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt) {
int v=E[i].e;
if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])--in[v-n];
}
for(int i=h[u];~i;i=E[i].nxt)if(!E[i].w){
int v=E[i].e;
if(v>n&&v<=2*n&&!vis[v-n])dfs2(v-n);
}
}
int main() {
scanf(" %d %d ",&n,&m);
memset(h,-1,sizeof(h));
st = 2*n+1; ed = st+1;
for(int i=1;i<=n;++i) add(st,i,1);
for(int i=1;i<=n;++i) add(i+n,ed,1);
for(int i=1;i<=m;++i) {int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
add(x,y+n,1);
++in[y];
}
int ans = n - dinic();
for(int i=1;i<=n;++i)if(!in[i]&&!vis[i]) {
dfs2(i);puts("");
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}