二分图匹配之匈牙利算法——杨子曰算法

话说在一个相亲大会上，有n个男的和m个女的，每个男生都有自己喜欢的1个或几个女的，身为主办方的你要尽可能满足更多男生，问最多能匹配出多少对

今天我们来曰二分图，那二分图到底是什么鬼呢？

设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。
简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

度娘说的话，我们是永远也不能理解的，我来告诉大家二分图到底是什么：就是一个图中，左边有一堆点，互不相连，右边有一堆点，也互不相连，但左右之间有边，Look at the 图：

这就是一张标准的二分图
然后我们来看什么是二分图匹配，像上面那个题，把左边的点看成男生，右边的点看成女生，问你最多能找出多少匹配，那怎么做呢？
大佬可以使用网络流（那是神马？戳）,我们今天来讲一个更方便的算法——匈牙利算法，走起

匈牙利算法是通过对不停从每个点DFS寻找增广路实现的，从一个点出发，如果有能匹配的点，那就匹配上，如果发现所有连出去的边都已经被匹配了，就用占了这个点的那个点去找其他的匹配
肯定有人已经(✖_✖)了，那我们来模拟一下上面那个图：
首先1号节点连到5，发现5没有被占，OK连上

然后从2出发，发现连到了6，而且6也没被占，OK，连上

从3出发，连到5，Oh NOOOOOO！5被占了

那我们继续找增广路，我们用5找到1，看1的其他边，1还连到7，噢，7没有被占，完美，连上（如果这时7被占了，我们就要通过7找到连到7的那个点，通过这个点在找有没有它能连出去的边。显然，这时一个递归的过程）

然后是4，发现4连到6，嗯6被占了，那我们通过6找到2

发现2是真的连不出去了，没办法，就这样匹配完成

OK，这个找增广路DFS比较简单，走起：

//match[i]表示目前与i匹配的那个点
int find(int x){
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if (!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if (match[v]==0 || find(match[v])){//如果v还没有被占，或占了v的那个点能连到其他地方
                match[v]=x;
                return 1;
            } 
        }
    }
    return 0;
}

总结一波，匈牙利算法通过从每个点出发找增广路，DFS复杂度为O(m)，最终复杂度O(mn)
OK，完事

c++模板（HihoCoder-1122）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int match[1005],head[1005],vis[1005],nedge=1;

struct Edge{
    int next,to;
}edge[10005];

void addedge(int a,int b){
    edge[nedge].to=b;
    edge[nedge].next=head[a];
    head[a]=nedge++;
}

int find(int x){
    for (int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next){
        int v=edge[i].to;
        if (!vis[v]){
            vis[v]=1;
            if (match[v]==0 || find(match[v])){
                match[v]=x;
                return 1;
            } 
        }
    }
    return 0;
}
int main(){
    memset(head,-1,sizeof(head));
    memset(match,0,sizeof(match));
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    while(m--){
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        addedge(a,b);
        addedge(b,a);
    }
    int ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        if (find(i)) ans++;
    }
    cout<<ans/2;//因为我们把所有的点都扫了一遍，相当于左边一遍，右边一遍，所以每个匹配都算了两次，因此要除2
    return 0;
}

于 XJZX 507机房
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