Lecture 2 Learning to Answer Yes or No

ppt

2.1 Perceptron Hypothesis Set 感知假说集

感知假说集这部分，林老师主要是举了个线性回归的例子，来帮我们感性地认识了 h 这个东西到底是什么。
比如说线性回归：

$$h = sign(w^Tx)$$
当 $$x={x_0,x_1,x_2}$$ 时,
$$h = sign(w_0x_0+w_1x_1+w_2x_2) = sign(w_0+w_1x_1+w_2x_2)$$

2.2 Perceptron Learning Algorithm 感知演算法

这部分开始推导了。

2.1节说明了h是一个假设空间集，我们希望在h里面能找到一个g，使它最接近f。

这里f是指存在的一种理想化的规律或模式，是我们不知道的，但是我们的data都是依照这种模式产生的；因为f我们不知道，但是我们有data，所以我们可以根据data来找一个g，使g这个函数在我们已知的data上表现的尽可能像f这个理想化的函数。

林老师举了一个简单的演算法的例子并说明了它的可行性。
还是考虑线性回归，

$$h = sign(w^Tx)$$
我们已知 $(x_n,y_n)$对，求的是在无数个可能的 $w$的假设空间中最可能的 $w$，也就是我们的 g。

首先从候选集随机中随机选择一个$w$，作为$w_0$，然后开始迭代，
迭代次数设置为$t(times)，t\in{1,2,3,...,m}$
从$t =1$开始，
如果

$$sign(w^T_tx_{n(t)})\ne y_{n(t)}$$
把 $w$的值进行更新，
$$w_{t+1} = w_t + y_{n(t)}x_{n(t)}$$
如此迭代，直到没有错误。

返回最后的 $w$，记为 $w_{PLA}$，为 g。

那么如何用几何的方式来描述上述过程呢？
我们知道w，x都可以描述成向量形式，尽管他们可能不是二维的，我们为了方便起见，假设它们都是二维的。
当实际的$y$为+1，而预测的$y$为-1时，我们更新$w$,

可以看到，这里的向量加法，$w+yx$是让，更新后的$w$，更偏向x这条向量线（$x$与更新后的$w$的夹角变小）。
当实际的$y$为-1，而预测的$y$为+1时，我们更新$w$,

可以看到，这里的向量加法，$w+yx$是让，更新后的$w$，更远离x这条向量线（$x$与更新后的$w$的夹角变大）。
为了让我们更直观地看到每一步迭代时分类的变化，林老师举了个例子。

……

注意到这里$w$使我们划分圈圈叉叉那条线的法向量。

2.3 Guarantee of PLA 感知器演算法的证明

这一小节的目标是证明PLA的正确性。
首先PLA可以收敛的一个重要的先决条件是数据是线性可分的。也就是说，存在某个完美的$w_f$使得$sign(w^{T}_{f}x_n) = y_n$。
这个完美的$w_f$，在几何意义上，就是有一条线，使得每一个$x_n$都被正确地划分在线的两边。
即对于任意n：

$$y_nw^T_nx_n > 0$$ ，
$$y_{n}w_{f}^{T}x_n \ge \min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n > 0$$
$w_{f}^Tw_{t}$随着错误的不断被更新不断地增大，
$$w_{f}^Tw_{t+1} = w_{f}^T(w_t + y_nx_n) \\ \ge w_{f}^Tw_t + min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n\\ > w_{f}^Tw_t （公式1）$$
上述公式说明的是向量 $w_{f}^T$和 $w_{t}$的内积在不断地增大，这种结果有两种可能的原因，一是两个向量的夹角余弦值越来越大，二是 $w_{t}$的模越来越大。
首先原因一是肯定的，因为我们的目标就是让 $w_{t}$越来越接近 $w_{f}^T$，然后我们来看看原因二。
$$||w_{t+1}||^2 = ||w_t + y_nx_n||^2 \\ =||w_t||^2+2y_nx_nw_t + ||y_nx_n||^2\\ (公式2-1)$$
由于 $w_t$是遇到错误才开始更新，所以 $2y_nx_nw_t$是小于0的
即，
$$||w_t||^2+2y_nx_nw_t + ||y_nx_n||^2 < ||w_t||^2 + ||y_nx_n||^2\\ \le ||w_t||^2 + \max_n||y_nx_n||^2 (公式2-2)$$
接下来林老师提出了一个小的练习，

求constant的值。
推导过程如下：
由公式1
$$w_{f}^Tw_{t+1} \ge w_{f}^Tw_t + min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n$$
$$w_{f}^Tw_{t} \ge w_{f}^Tw_{t-1} + min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n$$
叠加起来
$$w_{f}^Tw_{t+1} \ge w_{f}^Tw_{t-1} + 2*min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n$$
$$w_{f}^Tw_{t+1} \ge w_{f}^Tw_0 + (T+1)*min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n \\ \ge (T+1)*min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n （公式3）$$
由公式2
$$||w_{t+1}||^2 \le ||w_t||^2 + \max_n||y_nx_n||^2$$
即
$$||w_{t}||^2 \le ||w_{t-1}||^2 + \max_n||y_nx_n||^2$$
叠加，得
$$||w_{t+1}||^2 \le ||w_{t-1}||^2 +2* \max_n||y_nx_n||^2$$
$$||w_{t+1}||^2 \le ||w_0||^2 +(T+1)* \max_n||y_nx_n||^2 \\ \le (T+1)* \max_n||y_nx_n||^2 （公式4）$$
结合公式3，公式4，图片中左式
$$\frac{w_{f}^Tw_{T}}{||w_{f}^T||*||w_{T}||} \ge \frac{T*min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n}{||w_{f}^T||*||w_{T}||} \ge \frac{T*min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n}{||w_{f}^T||*\sqrt{T}* \max_n||y_nx_n||}$$
也就是说这个constant为
$$constant = \frac{min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n}{||w_{f}^T|| \max_n||y_nx_n||}$$
由于 $y_n \in {-1,+1}$，所以上述等式可以简化为
$$constant = \frac{min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n}{||w_{f}^T|| *\max_n||x_n||}$$
在Fun-Time里面林老师让我们计算T的上界，其实很简单，因为图片中的左式的集合意义就是向量 $w_{f}^T$和 $w_t$的余弦值，余弦值的范围是 $[0,1]$，所以
$$0 \le \sqrt{T} *constant \le 1$$
也就是
$$T \le \frac{1}{constant^2} \\ \le \frac{||w_{f}^T||^2 *\max_n||x_n||^2}{||min_{n}y_{n}w_{f}^{T}x_n||^2}$$

所以
$$T \le \frac{R^2}{\rho ^2}$$

2.4 Non-Separable Data 不可分割的（线性）数据、

上面的内容告诉我们，PLA有两个重要的点

• Data要线性可分 —-> 这是$w_f^T$和$w_t$越来越接近的理论前提。
• PLA是从错误中学习—->这个点使得$w_t$越来越大。

PLA的优点是：快速、容易实现，且在任意维度下都可使用。
PLA的缺点是：

• 只适用于线性可分数据（但是现实情况下，我们哪里会知道Data的确定分布呢？要是事先知道了Data的确定分布，还要机器学习干啥？），所以PLA还是比较理想化的。

在现实生活中，我们的数据是存在噪声的。

那么，如何学习到具有噪声容忍度的$w$呢？

解决办法是，找到一条线，它在我们遇到的所有线中，误分类最小。
即

上述公式是个NP难的问题，我们使用PLA的贪心算法变体解决。

这里和2.2节最大的区别在于，贪心算法面对的数据（存在噪声）永远也没有办法停止。所以需要提前设定迭代阈值。

林老师在这节给出的Fun Time问题还挺值得思考的，反正我是想错了。

这个问题的意思是，在已知数据线性可分的前提下，我们还是用PLA的贪心算法变体来计算那条分割线，这样的计算方法和直接用PLA有什么不同？
答案是1，原因是PLA的贪心算法针对的是存在噪声的数据，所以在每次迭代时，都会对每个点进行计算，看看找到的这条$w$整体上是不是比上次好了；而本体PLA针对的是数据线性可分，肯定能终止的情况，它每次迭代只需要找一个错误点就行。
所以这道Fun Time题中，PLA的贪心变体执行的时间会长于PLA本体。