1.置换矩阵
就是上节课所说的单位矩阵进行行变换得到的一系列矩阵。
2.矩阵的转置
Aij = Aji
2.1对称矩阵
对称矩阵的转置等于其本身,也可以说是转置后等于本身的成为对称矩阵。
一个矩阵乘以他的转置会得到一个对称矩阵
证明:
也就是证明该矩阵相乘后的转置等于矩阵相乘本身,所以满足对称矩阵的性质。
3.向量空间
什么是向量空间?
向量空间有很多向量,一整个空间的向量。但并不是任意向量的组合都能成为空间。必须满足一定规则,必须能够进行加法和数乘运算,必须能够进行线性组合,对加法和数乘运算封闭。
比如R^2就是一个二维平面空间,R^3就是三维立体空间,R^n就是n维空间。
4.子空间
什么是子空间?
满足空间规则,但又不需包含所有向量。取某向量空间的部分空间,这部分中的向量不管是加法还是数乘,结果依然在此部分空间内,这就是子空间。
问:R^2中第一象限是子空间吗?不是,因为相加是封闭的,两个正数向量相加还在第一象限,但是数乘不是封闭的,因为乘以一个负数就跑到第三象限去了。
R^2的子空间:原点,过原点的直线,R^2本身。
R^3的子空间:原点,过原点的平面,过原点的直线,R^3本身。
两个子空间的交集仍然是子空间,并集则不是。
5.构造子空间
两列向量在R^3空间中,利用这两列向量所有的线性组合(数乘和加法)就可以得到一个穿过原点的平面(子空间),如果两列共线的话就是一条直线,也叫列空间C(A)。