一、向量与向量空间
1、设F是实数集或者复数集,F中任意两个数的和积差商(除数不为零)仍然在F中.
2、定义:设 .列矩阵
称为F上的n元向量,元素都为实数的向量称为实向量.向量的元素也称为分量, 是第i个分量。
对于取定的正整数n,令
是由F上所有n元向量构成的集合.
3、向量的线性运算
(1)加法
对于任意的,,称为向量与的和
(2)数乘
对于任意的,称为数k与向量的乘积,简称为数乘.
4、向量空间
(1)定义:设V是的非零子集.如果
①对任意的,,都有 ,称为V对向量的加法封闭
②对任意的,都有,称为V对数与向量的乘法封闭
那么称V是F上的向量空间.
(2)性质
设 是F上的向量空间,则下列性质成立:
①V中含有中的零向量0;
②V中任意向量的符向量-在V中;
③如果 ,那么
二、向量空间的子空间
1、定义:设V是F上的向量空间,W是V的非空子集. 如果W也是F上的向量空间,则称W是向量空间V的子空间.
2、命题1 如果 是F上的向量空间V的子空间,那么
① 与 的交 是V的子空间
② 是V的子空间,称为 与 的和.
3、定义:设 是F上的向量空间V中的一组向量.对F中的任意常数 ,表达式 称为 的线性组合.
设 是F上的向量空间V中的一组向量,令
4、命题2 是V的子空间.
5、 称为由V中向量组 生成的V的子空间,简称为生成子空间.
三、与矩阵有关的向量空间
1、定义:设A是F上的矩阵,F上的线性方程组 的解 是中的一个向量,称为的解向量.
F上的齐次线性方程组的解向量构成的集合记作N(A),即
2、命题3 N(A)是F上的向量空间.
证明 设,则有.因为,所以。设,因为,所以,即 .因此,N(A)是F上的向量空间.证毕
3、定义:N(A)称为A的解空间,或者称为齐次线性方程组AX=0的解空间.
F上的矩阵A的零空间N(A)是的子空间.
4、设 是F上的矩阵.将A的n个列记作
, 称为由A的列构成的向量组.
A的n个列构成的向量组生成的的子空间称为A的列空间,也称为A的值域,记作R(A).
因为
所以
5、定义:将矩阵A的m个行记作
称为由A的行构成的向量组.
由A的行构成的向量组生成的的子空间 称为A的行空间,记作 ,
6、定义:设 是中的向量组,矩阵称为由向量组 按列构成的矩阵;
矩阵称为由向量组,按行构成的矩阵.