对于实对称矩阵而言,特征值和特征向量都有特殊的性质。
定理
实对称矩阵的特征值都是实数。
∵x¯TAx=λx¯Tx=x¯TA¯Tx=(Ax)¯Tx=λ¯x¯Tx
∴(λ−λ¯)x¯Tx=0
实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
∵yTAx=λyTx=yTATx=(Ay)Tx=uyTx
∴(λ−u)yTx=0
任何实对称矩阵正交相似于对角阵,即存在正交阵
Q
,使得
QTAQ
为对角阵。
因此,我们求一个实对称矩阵的特征值和特征向量,并将同一个特征值的多个特征向量进行正交化,对所有特征向量进行单位化,就得到了正交阵
Q
。
谱分解:
A=QΛQT=(q1,...,qn)⎛⎝⎜λ1...λn⎞⎠⎟⎛⎝⎜qT1...qTn⎞⎠⎟
∴A=λ1q1qT1+...+λnqnqTn
注意:
Pj=qjqTj
为投影矩阵,因此,任意实对称矩阵可以表示为秩为1 的投影矩阵的和。
Schur定理:任意一个复方阵
A
酉相似与上三角阵,即存在酉矩阵
U(U¯TU=UU¯T=I)
,使得
U¯TAU=T
为上三角阵。(酉矩阵类似于实数域中的正交阵)
其他结论
- 设
A
是
n
阶实对称矩阵,
λ1,...,λn
为
A
的全部特征值,则存在实数
c>0
满足对于任意的
x,|xTAx|≤cxTx
。
- 设
λmax
是实对称矩阵
A
的最大特征值,则
A
的对角线元素
aii≤λmax
。
- 实对称矩阵的正特征值数与主元数相同(也就是说,其特征值符号个数与主元符号个数一致)。