MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)
Lecture 3: Multiplication and inverse matrices
课程 3:乘法和逆矩阵
矩阵乘法的五种理解方式:
定义
设C=AB ,则矩阵C 的(i,j) 元为A 的第i 行与B 的第j 列的各元素相乘之和,即
cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+ainbnj=∑k=1naikbkj.
也即是A 的第i 行与B 的第j 列点乘所得到的结果。从列的角度
设
B=(β1,β2,⋯,βn),
其中,β1,β2,⋯,βn 是B 的n 个列向量。
则
AB=A(β1,β2,⋯,βn)=(Aβ1,Aβ2,⋯,Aβn).
因此,从列的角度来看,矩阵B 右乘矩阵A 所得到的矩阵的每一列都是A 的列的线性组合,线性组合的系数分别是B 的各列的分量。从行的角度
设
A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟,
其中,αT1,αT2,⋯,αTn 是A 的n 个行向量。
则
AB=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1BαT2B⋮αTnB⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟.
因此,从行的角度来看,矩阵A 左乘矩阵B 所得到的矩阵的每一行都是B 的行的线性组合,线性组合的系数分别是A 的各行的分量。从列乘以行的角度
设
A=(ξ1,ξ2,⋯,ξn),B=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜ηT1ηT2⋮ηTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟,
其中,ξ1,ξ2,⋯,ξn 是A 的n 个列向量,ηT1,ηT2,⋯,ηTn 是B 的n 个行向量。
则
AB=ξ1ηT1+ξ2ηT2+⋯+ξnηTn=∑k=1nξkηTk.
由于列向量乘以行向量得到的是一个矩阵,因此从列乘以行的角度来看,矩阵A 乘以B 得到的是n 个矩阵之和,其中第i 个矩阵由A 的第i 列乘以B 的第i 行得到。分块乘法(block multiplication)
矩阵乘法同样可以分块来乘,只要分块的大小能够使乘法有意义即可(分块的大小要相互匹配)。
如
AB=(A1A3A2A4)(B1B3B2B4)=(A1B1+A2B3A3B1+A4B3A1B2+A2B4A3B2+A4B4).
矩阵的逆
如果存在矩阵
如果存在矩阵
下面我们证明,若
由于
1=det(AB)=det(A)det(B) ,因此det(B)≠0 ,故B 可逆。
又由于AB=I ,则B=B(AB)=(BA)B ,故(BA−I)B=0.
再由B 可逆即得BA=I.□
那么如何判断矩阵
以矩阵
为例,如果从行列式的角度来看,由于
注意到
或者我们可以再换一种方式来说明:
如果存在向量
这个结论的证明是显然的,假设
显然,可取
那么如何来求解
利用 Gauss-Jordan 消元法,对矩阵