对于一般的 n 维线性方程组 Ax=b,其中 A 是 n×n 维系数矩阵,x 是 n 维列向量,b 是方程组右端的 n 维列向量。
不妨设 α1,α2,⋯,αn 是 A 的 n 个列向量,x=(x1,x2,⋯,xn)T,则方程组 Ax=b 可以表示为
(α1,α2,⋯,αn)⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟=b.
即
x1α1+x2α2+⋯+xnαn=b.
由此可以看出,矩阵
A
乘以向量
x
相当于对
A
的
n
的列向量作线性组合,线性组合的系数即为向量
x
各对应的分量。
因此对线性方程组
Ax=b
可以理解为:
是否存在合适的线性组合系数,使得 A 的列向量的线性组合恰好为 b。如果存在,线性组合的系数为多少?这些线性组合的系数就构成了 Ax=b 的解向量 x.
现在,我们还有一个问题,线性方程组 Ax=b 在什么情况下有解?
首先我们考虑对于任意的 n 维列向量 x,当 x 变动时, Ax 也在变动,当 x 取遍所有的 n 维列向量时,Ax 就能取遍所有 A 的列向量的线性组合,也就是说,所有的 Ax 就构成了 A 的列向量张成的线性空间 V=span{α1,α2,⋯,αn}. 因此
Ax=b有解⇔b∈span{α1,α2,⋯,αn}.
又由于
b∈span{α1,α2,⋯,αn}⇔rankA=rank(A,b).
因此我们也就得出了
Ax=b有解⇔rankA=rank(A,b).
特别地,如果
A
的
n
个列向量线性无关,那么这
n
个列向量就构成了
n
维向量空间
Rn
的一组基。此时对于任意的
b∈Rn
均可由
A
的列向量线性表出,也即是
Ax=b
一定有解。
换言之,如果
A
可逆,则
Ax=b
一定有解。
有了对线性方程组的这些认识,我们可以更好地理解矩阵乘法。
首先考虑列向量 x∈Rn 右乘矩阵 A∈Rn×n. 先从行的角度考虑,不妨设
A=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜αT1αT2⋮αTn⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟,x=⎛⎝⎜⎜⎜⎜x1x2⋮xn⎞⎠⎟⎟⎟⎟.
其中,
αT1,αT2,⋯,αTn
是
A
的
n
个行向量,
x1,x2,⋯,xn
是
x
的
n
个分量。
则