MIT 公开课:Gilbert Strang《线性代数》课程笔记(汇总)
Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs
课程 11:矩阵空间、秩1矩阵、小世界图
矩阵空间
所有
n×n 维矩阵构成的线性空间称为矩阵空间,记为Rn×n. 若记
M 为所有3×3 矩阵构成的矩阵空间,则所有的3×3 对称矩阵构成的矩阵空间S 和3×3 上三角矩阵构成的矩阵空间U 都是M 的子空间,显然他们的交也是M 的子空间,事实上,S 与U 的交即为所有3×3 对角矩阵构成的矩阵空间。但S∪U 不是线性空间,因为对加法不封闭。
定义S+U={α+β|α∈S,β∈U} ,显然S+U 是M 的子空间,且S+U=M. dimM=9,dimS=6,dim(S+U)=9,dim(S∩U)=3, 故
dimS+dimU=dim(S+U)+dim(S∩U).
这就是维数公式。
秩1矩阵
- 任何一个秩矩阵都能写成
A=uvT 的形式,其中rankA=1,u,v 均为列向量。 - 秩
1 矩阵的集合不是线性空间,因为对加法不封闭(两个秩1 矩阵的和的秩可能为2 )。 - 任何一个秩为
r 的矩阵都能写成r 个秩1 矩阵的和。