1.方程组的矩阵表示和几何解释

方程组：
$2x-y=0\\-x+2y=3$
该方程我们可以用矩阵乘积表示：
$\left[\begin{matrix} 2 & -1\\ -1& 2 \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\y \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\3 \end{matrix}\right]$
通常我们记为:
$Ax=b$
行向量的表示很容易理解，就是每一个方程本身，所有行向量构成了方程组。我们可以试着画出每个方程的图像，从而查看交点：

很明显我们可以看出交点为(1,2)，因此这也正是方程的解，这就是行向量的几何解释。

我们试着理解列向量，该方程可以用列向量的方式表示：
$x\left[\begin{matrix} 2\\-1 \end{matrix}\right]+y \left[\begin{matrix} -1\\2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\3 \end{matrix}\right]$
在这里就可以认为实际上是两个向量(2,-1),(-1,2)经过怎样的线性组合可以成为向量(0,3)，可以在图中将这三个向量的都画出来。然后运用平行四边形法则猜测我们应当如何取x,y。

故向量图可以认为是列向量的几何解释。

延申：

三元一次方程：
$2x-y = 0 \\-x+2y-z=-1 \\-3y+4z= 4$
我们用矩阵乘积的形式表示该方程组：类似于Ax=b的形式
$\left[\begin{matrix} 2 & -1 & 0\\ -1& 2 &-1\\ 0&-3&4\\ \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} x \\y\\z \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\-1\\4 \end{matrix}\right]$
同样我们可以用列向量的方式表示该方程：
$x\left[\begin{matrix} 2\\-1 \\0 \end{matrix}\right]+y \left[\begin{matrix} -1\\2\\-3 \end{matrix}\right]+z \left[\begin{matrix} 0\\-1\\4 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} 0 \\-1\\4 \end{matrix}\right]$
该问题几何解释实际上可以表示为如下形式：

行向量解释：三个行向量代表三个方程，每个方程是三维平面的一个平面，最终解为三者的交集

列向量解释：三个向量的线性组合最终共同组合为(0,-1,4)向量，解即为三个变量的线性组合取值

思考：

是否对于任意的 A, b，方程总是有解？
$Ax=b$
也就是对于任意的A,b ，行向量的几何图象是否总是有交集，列向量的组合能否表出空间中所有的向量？

答案是不能够保证总是有解，如果列向量无论如何表出都不能表示出空间中所有的向量，则称A为奇异阵或不可逆矩阵，因此如何A是奇异阵，不能够保证对于任意b有解。但是如果每一个列向量都线性无关，则它们的组合可以表示出整个空间，因此此时对于任意的b，均是有解的。