MIN线性代数:1.方程组的几何解释

1.方程组

可用矩阵进行表示如下:


系数矩阵A,未知数向量x,右侧向量为b,则可写成Ax=b

1.1行图像

针对上面的矩阵,可以用行图像进行表示

如图,二维矩阵的行图像是在平面内交于一点,交点(1,2)即为矩阵的解

1.2列图像

列图像关注的是矩阵的列,一个向量,在坐标上表示:


当1个x向量和2个y向量所交的点为b代表的向量(0,3)

此矩阵的解就是(1,2)

1.3扩展到三维


此方程对应的行图像是空间的三维的,也就是三个平面交于一条线。

列图像如下:


也是采用向量的形式表示。

2.方程组解的情况

对于上面 3 维空间的例子,
保证左侧矩阵不变,然后考虑所有右侧向量,任意 b,是否每个 b 都有对应解?
换种说法:列的线性组合是否能覆盖整个三维空间?

非奇异矩阵,可逆矩阵可以做到。

如果是奇异矩阵,即不可逆矩阵,在行图像中看即至少有两个方程组所表示的平面是平行的,在列图像中
看即至少有两个列向量是指向同一方向的(即不相互独立,相当于同一个向量),此时,只有 b 处在这个
向量和另一个非共线向量所表示的平面内时,方程组才有解。也就是说如果第三列的向量与第二列的向量
重合,那么第三列的向量就没有贡献,所以也就只能覆盖二维空间。

3.矩阵与向量的乘法

3.1列的形式

3.2常规形式


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