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Eratosthenes算法 (不会读 233~~) 埃氏筛法
从2到n循环,筛去每个质数的整数倍的那些合数(循环到 i 没被筛去,则 i 一定是质数)
从2到,只要n中有这个质因子,就除尽(其中的合数被前面的质数判掉了)
先来热热身
- 质数只有1和本身两个质因子
- 任何一个数可以拆分成几个质数的乘积 n=q1^a*q2^b*q3^c...
质数判定
若整数N为合数,则存在一个能整除 N 的 T (2<=T <= )
上代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int n;
bool is_prime(int n)
{
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
if(n%i==0) return false;
if(n==1 || n==0) return false;
return true;
}
质数筛选
给定一整数N,求出1到N的所有质数
Eratosthenes算法 (不会读 233~~) 埃氏筛法
- 基本思想
- 任何质数的整数倍都是合数
- 质数n ,整数2<=i<n ,n % i ! = 0 ,n必为质数
从2到n循环,筛去每个质数的整数倍的那些合数(循环到 i 没被筛去,则 i 一定是质数)
- 优化
- 小于的x的整数倍之前被筛过了
对每个质数x从它的x倍开始标记,值不超过N
上代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int n;//1000
int v[1005]={0};
void primes(int n)
{
memset(v,0,sizeof(v));//质数为0 合数为1
v[1]=1,v[0]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(v[i]==0)
{
cout<<i<<' ';
for(int j=i;j*i<=n;j++) v[i*j]=1;
}
}
}
int main()
{
cin>>n;
primes(n);
}
- 缺点:存在重复筛选
- 原因:任意一个整数可以写成一些素数的乘积
n=p1^a * p2^b * p3^c
,其中p1<p2<p3,这样这个数n就能被p1,p2和p3筛掉 - 解决方法:按照一个数的最小素因子筛去(也就是这里的p1)就可以啦,这也就有了线性筛素数
线性筛法
- 基本思想:用合数的最小质因子筛去这个合数,就不会重复筛去这个数
实现:当前数字是m=p1^a * p2^b * p3^c
(p1<p2<p3且均为素数),p1之前有pi,pj和pk三个素数。
pi*m,pj*m,pk*m, p1*m
最小质因子 分别为pi , pj , pk , p1 ,本次循环即可筛去。
一次循环筛去小于等于p1的素数乘以m得到的数
上代码
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
int n;//10000000
int minp[10000005]={0};
int num=0,a[10000005]={0};
void primes(int n)
{
num=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(minp[i]==0) minp[i]=i,a[++num]=i;
for(int j=1;j<=num;j++)
{
if(a[j]>minp[i] || a[j]*i>n) break;
minp[a[j]*i]=a[j];
}
}
for(int i=1;i<=num;i++) printf("%d\n",a[i]);
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
primes(n);
return 0;
}
线性线性 时间O(n)
质因数分解
试除法+埃氏筛法
从2到,只要n中有这个质因子,就除尽(其中的合数被前面的质数判掉了)
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
int n;
int p[1000005]={0};
int c[1000]={0};
void divide(int n)
{
cout<<n<<'=';
int m=0;
for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
{
if(n%i==0)//i为合数时,一定被前面的其质因子判掉了
{
p[++m]=i;
while(n%i==0) n=n/i,c[m]++;
}
}
if(n>1) p[++m]=n,c[m]=1;//所有合数都被除尽变成0了
for(int i=1;i<m;i++) cout<<p[i]<<'^'<<c[i]<<'*';
cout<<p[m]<<'^'<<c[m];
}
int main()
{
cin>>n;
divide(n);
}