定义：错排问题，是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D(n)。

错排通项公式推导：

一共有n个元素进行错排。

第一步：把第n个元素放在k位置上，一共有n-1种放法。

第二步：选择第k个元素去放，分两种情况：第一种k放置在原n的位置，那么剩下的n-2个元素错排可能为D(n-2)。第二种是k放置在除原n外的其他位置，那么这n-1个元素有D(n-1)种放法。

则D（n)=（n-1）*[D(n-1)+D(n-2)],其中D(1)=0,D(2)=1;

例题之一：

考新郎

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:
首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板...

假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2 2 2 3 2

Sample Output

1 3

#include<iostream>
using namespace std;
int c, n, m;
long long fun1(int x)                    //计算错排数
{
	if (x == 1)
		return 0;
	else if (x == 2)
		return 1;
	else
		return (x - 1)*(fun1(x - 1) + fun1(x - 2));
}
long long fun2(int x)                   
{
	long long res = 1;
	for (int i = 1; i <= x; i++)
		res *= i;
	return res;
}
long long choose(int n, int m)           //用组合数公式计算，计算从n个中选出m个有几种可能，每种可能对应D（m）个错排
{
	long long res;
	res = fun2(n) / (fun2(m)*fun2(n - m));
	return res;
}
int main()
{
	cin >> c;
	while (c--)
	{
		cin >> n >> m;
		cout << fun1(m)*choose(n, m) << endl;
	}
	return 0;
}

例题之二：

RPG的错排

Time Limit: 1000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Total Submission(s): 9419    Accepted Submission(s): 3859

Problem Description

今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜，第一次猜：R是公主，P是草儿，G是月野兔；第二次猜：R是草儿，P是月野兔，G是公主；第三次猜：R是草儿，P是公主，G是月野兔；......可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们，可现在有N多人，他要猜的次数可就多了，为了不为难野骆驼，女生们只要求他答对一半或以上就算过关，请问有多少组答案能使他顺利过关。

Input

输入的数据里有多个case,每个case包括一个n，代表有几个女生，（n<=25）, n = 0输入结束。

Sample Input

1 2 0

Sample Output

1 1

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n;
long long fun(int x)                        //计算错排数
{
	if (x == 1)
		return 0;
	else if (x == 2)
		return 1;
	else
		return (x - 1)*(fun(x - 1) + fun(x - 2));
}
long long C(int n, int m)                   //计算组合数
{
	long long ans = 1;
	if (m == 0)
		return 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		ans *= (n - i + 1);
		ans = ans / i;
	}
	return ans;
}

int main()
{
	while (1)
	{
		cin >> n;
		long long sum = 1;                     //1是全部猜中的情况
		if (n == 0)
			break;
			for (int i = 1; i <= n / 2; i++)
			{                                  
				sum += (fun(i)*C(n, i));
			}
			printf("%lld\n", sum);
	}
	return 0;
}