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(一)题面:
给一个共有
n个点的凸多边形,求一条将该多边形划分为面积和周长都相等的两部分
的直线。
Input
第一行一个正整数n,表示多边形的点数。(n <= 40000) 接下来的n行,第i+1行,每行两个实数xi,yi,表示凸多边形的一个点的坐标,点按照逆时针或顺时针的顺序给出。 其中n,|xi|,|yi|<=40000。
Output
如果存在这样的直线,将这条直线与凸多边形的两个交点的坐标分两行输出。你所求的直线必须与多边形有两个交点,且分多边形的两部分周长或面积相差都不能大于10^-3。 如果不存在,输出"impossible"(不含引号)。
Input示例
4 0 0 3 0 3 3 0 3
Output示例
1 0 2 3
(二)题目大意:
见题面QAQ.
(三)解题思路:
像我这么菜当然是没想到思路的啦~...
下面是官方题解:
①首先,我们对这条直线的存在性进行证明。
在凸多边形上任取一点 P ,定义函数 f(x) :设凸多边形周长为 C ,从 P 点出发在凸多边形上沿顺时
针方向移动 x 个单位长度后,设到达的点为Q1,从P+C/2点出发沿着凸多边形移动x个单位长度后到达 Q2
,函数值为射线 Q1Q2 两侧的面积差。不难发现有 f(x)=−f(x+C2) ,因为此时射线刚好翻转。根据零点存
在定理可知在区间 [0,C2]存在一实数 x0 使得 f(x0)=0 ,证毕。
② 存在性得到证明后,只需求解出函数的一个零点即可。可采用二分法求出零点。显然零点可能并不一定唯一,但我们只需求出一个零点,二分法仍然适用,只需在缩小区间的时候保证区间内一定存在一个零点即可
(设当前考虑的区间为[l,r],只需保证f(l)与f(r)异号)。至此算法便水落石出了。
③算法的时间复杂度为 O(nlogC)。
其图示如下:
设:F(x)=S1-S2,则F(x+C/2)=S2-S1,又因为F(x)是连续的,所以有了题解中的结论,然后二分求零点即
可。
(四)具体代码:
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define id (SP+1)%n
using namespace std;
const int maxn=4e4+10;
struct Point{
double x,y;
Point(){}
Point(double _x,double _y){
x=_x;y=_y;
}
}P[maxn];
double dist(Point A,Point B){
return sqrt((A.x-B.x)*(A.x-B.x)+(A.y-B.y)*(A.y-B.y));
}
double Area(Point A,Point B,Point C){ //三角形面积
double x1=B.x-A.x,y1=B.y-A.y;
double x2=C.x-A.x,y2=C.y-A.y;
return fabs(x1*y2-x2*y1)/2.0;
}
const double esp=1e-9;
Point getp(Point A,Point B,double x){ //求线段AB上距离A点x长度的点
double d=dist(A,B);
double ex=(B.x-A.x)/d;
double ey=(B.y-A.y)/d;
double _x=A.x+ex*x;
double _y=A.y+ey*x;
return Point(_x,_y);
}
double fx(double x,double c,double s,int n){//求F(x)
int SP=0;
double d;
while((d=dist(P[SP],P[id]))<x){x-=d;SP=id;}
Point p1=getp(P[SP],P[id],x); //Q1
double m=c-dist(p1,P[id]),S=0;
SP=id;
while((d=dist(P[SP],P[id]))<m){
S+=Area(p1,P[SP],P[id]);
m-=d;SP=id;
}
Point p2=getp(P[SP],P[id],m); //Q2
S+=Area(p1,P[SP],p2);
return s-S-S;
}
int main(){
freopen("in.txt","r",stdin);
int n;
scanf("%d",&n);
scanf("%lf%lf%lf%lf",&P[0].x,&P[0].y,&P[1].x,&P[1].y);
double Len=dist(P[0],P[1]),area=0;
for(int i=2;i<n;i++){
scanf("%lf%lf",&P[i].x,&P[i].y);
Len+=dist(P[i],P[i-1]);
area+=Area(P[0],P[i-1],P[i]);
}
Len+=dist(P[0],P[n-1]);
double l=0,r=Len/2,c=Len/2,flx=0,fmx=1,mid;
while(l+esp<r||fabs(fx(mid,c,area,n))<esp){
mid=(l+r)/2;
flx=fx(l,c,area,n);
fmx=fx(mid,c,area,n);
if(fabs(fmx)<esp)break;
if(flx*fmx<0)r=mid-esp;
else l=mid+esp;
}
l=mid;
int SP=0;
double d,S=0,len=0;
while((d=dist(P[SP],P[id]))<l){l-=d;SP=id;}
Point p1=getp(P[SP],P[id],l); //Q1
double m=c-dist(p1,P[id]);
len+=dist(p1,P[id]);
SP=id;
while((d=dist(P[SP],P[id]))<m){
S+=Area(p1,P[SP],P[id]);
len+=dist(P[SP],P[id]);
m-=d;SP=id;
}
Point p2=getp(P[SP],P[id],m); //Q2
printf("%.12lf %.12lf\n%.12lf %.12lf\n",p1.x,p1.y,p2.x,p2.y);
return 0;
}
(五)总结一下:
①计算几何往往需要去寻找一些重要的数学关系。
②这里被卡了精度,真是#¥%……&*,我那里二分判断的条件貌似不是很“标准”,然后输出小数的位数
要够多,貌似计算几何问题里面涉及到精度的问题还不少...。
③照着题解的思路写,代码写得比较难看...有待改进。