题目地址:
https://www.acwing.com/problem/content/1071/
给定一个具有 N N N个顶点的凸多边形,将顶点从 1 1 1至 N N N标号,每个顶点的权值都是一个正整数。将这个凸多边形划分成 N − 2 N−2 N−2个互不相交的三角形,对于每个三角形,其三个顶点的权值相乘都可得到一个权值乘积,试求所有三角形的顶点权值乘积之和至少为多少。
输入格式:
第一行包含整数 N N N,表示顶点数量。第二行包含 N N N个整数,依次为顶点 1 1 1至顶点 N N N的权值。
输出格式:
输出仅一行,为所有三角形的顶点权值乘积之和的最小值。
数据范围:
N ≤ 50 N≤50 N≤50
数据保证所有顶点的权值都小于 1 0 9 10^9 109
三个点的权值乘积可能会达到 1 0 27 10^{27} 1027,所以要用高精度加法、乘法,即用vector来做。思路是动态规划,我们把 1 ∼ N 1\sim N 1∼N的 N N N个顶点看成是长 N N N的区间,考虑顶点 1 , N 1,N 1,N和哪个第三顶点组成的三角形,显然这个第三点的选择可以是 2 , 3 , . . . , N − 1 2,3,...,N-1 2,3,...,N−1,设选中的是 k k k,选中以后,划分多边形 1 , 2 , . . . , k , 1 1,2,...,k,1 1,2,...,k,1和划分多边形 k , k + 1 , . . . , N , k k,k+1,...,N,k k,k+1,...,N,k是完全独立的,互不影响,而这两个问题是规模更小的问题。设 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]是划分多边形 i , i + 1 , . . . , j − 1 , j i,i+1,...,j-1,j i,i+1,...,j−1,j所能得到的最小权值乘积和,那么可以按照 i , j i,j i,j和哪个第三点形成三角形来分类,所以有: f [ i ] [ j ] = min i + 1 ≤ k ≤ j − 1 { f [ i ] [ k ] + f [ k ] [ j ] + a [ i ] ∗ a [ j ] ∗ a [ k ] } f[i][j]=\min_{i+1\le k\le j-1}\{f[i][k]+f[k][j]+a[i]*a[j]*a[k]\} f[i][j]=i+1≤k≤j−1min{ f[i][k]+f[k][j]+a[i]∗a[j]∗a[k]}区间长度从 3 3 3开始枚举。关于位数,答案肯定不会超过 1 0 27 × 50 10^{27}\times 50 1027×50,可以取 30 30 30位。代码如下:
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
const int N = 55;
int n;
int a[N];
vector<long> f[N][N];
// 高精度乘法
vector<long> mul(vector<long> A, long b) {
vector<long> C;
if (A.empty()) return C;
long t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {
if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return C;
}
// 高精度加法
vector<long> add(vector<long> A, vector<long> B) {
if (A.empty()) A.push_back(0);
else if (B.empty()) B.push_back(0);
vector<long> C;
long t = 0;
for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size() || t; i++) {
if (i < A.size()) t += A[i];
if (i < B.size()) t += B[i];
C.push_back(t % 10);
t /= 10;
}
return C;
}
// 高精度比较
int cmp(vector<long> A, vector<long> B) {
if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size() ? 1 : -1;
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i] ? 1 : -1;
return 0;
}
void printv(vector<long> A) {
for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) cout << A[i];
cout << endl;
}
int main() {
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
for (int len = 3; len <= n; len++)
for (int l = 1; l + len - 1 <= n; l++) {
int r = l + len - 1;
for (int i = 0; i < 30; i++) f[l][r].push_back(0);
f[l][r].push_back(1);
for (int k = l + 1; k < r; k++) {
vector<long> tmp;
tmp.push_back(1);
tmp = mul(tmp, a[l]);
tmp = mul(tmp, a[k]);
tmp = mul(tmp, a[r]);
if (len == 3) f[l][r] = tmp;
else {
tmp = add(tmp, f[l][k]);
tmp = add(tmp, f[k][r]);
if (cmp(tmp, f[l][r]) < 0) f[l][r] = tmp;
}
}
}
printv(f[1][n]);
return 0;
}
时间复杂度 O ( n 3 log v ) O(n^3\log v) O(n3logv), v v v是最大权值,空间 O ( n 3 + log v ) O(n^3+\log v) O(n3+logv)。