【寒江雪】点面距离的计算

其他 2018-07-25 05:10:27 阅读次数: 0

点面距离的计算

空间中一个平面可以用三个点来表示，那么计算空间中一个点到平面的距离其实也相当简单。

直接上推导过程

假设平面内任意一点O

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

$(x_0,y_0,z_0)$
基向量

\vec{a}

$\vec{a}$

(a_{x}, a_{y}, a_{z})

$(a_x,a_y,a_z)$ 和

\vec{b}

$\vec{b}$

(b_{x}, b_{y}, b_{z})

$(b_x,b_y,b_z)$
法向量

\vec{n}

$\vec{n}$ =

\vec{a}

$\vec{a}$ x

\vec{b}

$\vec{b}$ =

(a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y}, a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z}, a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x})

$(a_yb_z - a_zb_y,a_zb_x - a_xb_z,a_xb_y - a_yb_x)$
单位化法向量

\vec{n} = \frac{\vec{n}}{| n |}

$\vec{n} = \frac{\vec{n}}{|n|}$
有平面外一点

P (x, y, z)

$P(x,y,z)$
假设点

P^{^{'}} = P + t \vec{n}

$P^{'} = P + t\vec{n}$ 在平面内
则

\vec{O P^{^{'}}} ⊥ \vec{n}

$\vec{OP^{'}} \bot \vec{n}$
根据向量垂直的性质有

\vec{O P^{^{'}}} ∙ \vec{n} = 0

$\vec{OP^{'}} \bullet \vec{n} = 0$
化简得到

t = \vec{P O} ∙ \vec{n}

$t = \vec{PO} \bullet \vec{n}$

根据t和点P就可以计算点到平面的投影点，距离也就可以直接计算了。

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