数的划分(转载)
问题描述
将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两种分法不能相同(不考虑顺序)。
例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的:
1,1,5; 1,5,1; 5,1,1。
问有多少种不同的分法。
输入:n,k(6<n<=200,2<=k<=6)
输出:一个整数,即不同的分法。
输入输出样例
输入:
7 3
输出:
4
问题分析:
这是一道整数剖分的问题。这类问题的数学性很强,方法也很多。
首先,正确理解“整数n分成k份,这k个整数不考虑顺序的含义”指的是同一种划分与k个整数的排列无关,例如下面5种8的4划分看作是同一种划分法:
1+2+2+3;2+2+3+1; 1+3+2+2;3+2+1+2 ;2+2+1+3。
因此将n划分份的一种方法唯一的表示为n1+n2+……nk,其中n1<=n2<=….nk.
这样可以形象地把n的k份划分看作是把n块积木堆成k列,且每列的积木块数依次递增,也就是这n块积木从左到右被堆成了“阶梯状”。比如,下图是10的几种划分方法:
把上图的三个矩形顺时针旋转90度后,如下图:
不难发现,选转之后的模型还是10的划分,不过约束条件有所不同。很明显,由于原来是k份划分,因此新的模型中的最大一个元素必然是k。而其余的元素大小不限,但都不能大于k. n减去k后,n’=n-k, 剩下的问题就是求n’的任意划分,且其中每个元素都不大于k的方案总数了。
新模型中,n的k份剖分的一种分法表示为n块积木从右到左递增排列,其中最左列有k块积木。
两个模型中对n的k份剖分的每种分法表示是一一对应的,如:
10=1+2+2+5 对应 10=4+3+1+1+1
10=1+1+3+5 对应 10=4+2+2+1+1
10=1+2+3+4 对应 10=4+3+2+1
因此,求n的k份划分的方案总数问题转化为根据新模型将n做任意划分,且其中最大的一个部分恰好是k的问题。
求解这个新的模型可以用递推的方法,用f (a,b)表示把b做任意份剖分,其中最大的一个部分等于a的方案总数,用g(a,b)表示把b做任意份划分,其中最大的一个部分不大于a的方案总数,则有:
f (a,b)=g (a,b-a);
g(a,b)=f(1,b)+f(2,b)+...f(a,b);
因为:
f(1,b)+f(2,b)+...f(a,b) =f(1,b)+...f(i,b) +f(a,b) (1<=i<=a-1)
f(1,b)+f(2,b)+..f(a-1,b) =g(a-1,b)
所以:
g(a,b)=f(1,b)+...f(i,b)+f(a,b)=g(a-1,b)+g(a,b-a)(1<=i<=a-1)
当b<a时,根据g(a,b)的含义,g(a,b-a)无意义。
当a=1时,显然 g(1,b)=1.
于是,根据新模型求解得到下列递推公式:
g (a,b)= g (a-1,b) b<a
g (a-1,b)+g(a,b-a) b>=a.
g(1,b)=1.
最后的g (k,n-k)即为所求。
参考程序:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
int g[7][201];
int main()
{ freopen("in.txt","r",stdin);
freopen("out.txt","w",stdout);
int n,k,i,j;
while(cin>>n>>k)
{
memset(g,0,sizeof(g));
for(j=0;j<=n;j++)
g[1][j]=1;
for(i=2;i<=k;i++)
for(j=0;j<=n-k;j++)
if(j>=i)
g[i][j]=g[i-1][j]+g[i][j-i];
else
g[i][j]=g[i-1][j];
cout<<g[k][n-k]<<endl;
}
return 0;
}