6 数论倒数----逆元

逆元定义：a和p互质时有 a * x = 1 (mod p) 则x称为a关于p的逆元

求余数时会有下面这些情况：

(a + b) % p = (a%p + b%p) %p （对）

(a - b) % p = (a%p - b%p) %p （对）

(a * b) % p = (a%p * b%p) %p （对）

(a / b) % p = (a%p / b%p) %p （错)

所以在求除法的时候就需要用到逆元了

对于任意数q逆元用inv(q) 表示

那么(a / b) % p = (a * inv(b) ) % p = (a % p * inv(b) % p) % p

这样问题可解~

逆元求法

方法一：费马小定理

p为质数，a， p互质有

a^(p-1) ≡1 (mod p)

两边同除以a得到

a^(p-2) ≡ inv(a) (mod p)

所以inv(a) = a^(p-2) (mod p)

这个用快速幂去求，复杂度O(logn)：

LL pow_mod(LL a, LL b, LL p){//a的b次方求余p 
    LL ret = 1;
    while(b){
        if(b & 1) ret = (ret * a) % p;
        a = (a * a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
LL Fermat(LL a, LL p){//费马求a关于b的逆元 
        return pow_mod(a, p-2, p);
}

方法二：扩展欧几里德算法

a*x + b*y = 1

如果a和b互质，有解

这个解的x就是a关于b的逆元

y就是b关于a的逆元

证明：

两边同时求余b

a*x % b + b*y % b = 1 % b

a*x % b = 1 % b

a*x = 1 (mod b)

反之可证

代码：

void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d) {
    if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
    else{
        ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
        y -= x * (a / b);
    }
}
LL inv(LL t, LL p) {//如果不存在，返回-1 
    LL d, x, y;
    ex_gcd(t, p, x, y, d);
    return d == 1 ? (x % p + p) % p : -1;
}

方法三：

当p是个质数的时候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

证明：

设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1

递归求法：

LL inv(LL t, LL p) {//求t关于p的逆元，注意:t要小于p，最好传参前先把t%p一下 
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}

求前n个数的逆元，复杂度O(n)：

const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init(){
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++) {
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
    }
}

6 数论倒数----逆元

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