1. 定义

1.1 逆元

在群$G$中，$\forall a \in G,\exists a'\in G,\ s.t. aa' = e$,其中$e$为$G$的单位元

1.2 乘法逆元

$p$为素数，记$a\cdot b = a\times b \mod{p}$
在群$N$中，$\forall a \in N, \exists a'\in N,\ s.t. aa' = e = 1$
则称$a'$是$a$关于$\mod{p}的逆元$，记为$inv[a]$

2. 逆元的性质

2.1 存在唯一性

对于$a\in N$，有且仅有一个$a'$,$s.t. aa' \equiv 1 \mod{p}$

2.2 完全乘性函数

$\forall a,b\in N,inv[a]\times inv[b] \equiv inv[a\times b]\mod{p}$

2.3 性质3

$inv[k] \equiv -(p/k)\times inv[p\mod{k}](\mod{p})$

2.4 性质4

$a/b = a\times inv[b] \mod{p}$

3.求乘法逆元

3.1 暴力枚举

从$1$到$p-1$枚举$a'$的值，转为判断性问题，判断$aa'\mod{p}$是否为1

3.2 费马小定理

假定$p$是素数，且$gcd(a,p) = 1$,那么$a^{p-1} \equiv 1 \mod{p}$
那么对于乘法逆元$a\times a^{p-2}\equiv 1\mod{p}$
所以$inv[a] \equiv a^{p-2}\mod{p}$，可以使用快速幂来求逆元

3.3 扩展欧几里得算法

对于$aa'\equiv 1$，我们可以构建方程$ax+py = 1$同时令$a' = x$,那么就将问题转化为求$x,y$了。
对于$a,p$的最大公约数，并且求解$x,y$
假设当前的状态为$(a,b)$
1. 当$b = 0$时，$gcd(a,b) = a$，所以$x = 1,y = 0$
2. 当$b\ne 0$时，我们先执行$gcd(b,a\mod{b})$

现在$xb+y(a\mod{b}) = 1\rightarrow x\times b+y\times a-(a/b)y\times b= 1\rightarrow ya+[x-(a/b)y]b=1$
那么我们构造出的$x',y'$作为新的$x,y$满足$ax+by=1$即$x' = y,y' = x-(a/b)y$,求出$x$

3.4 欧拉定理

$a^{\varphi (p)}\equiv1 \mod{p}$，则$a^{\varphi}(p)-1$是$a$的逆元

其中$\varphi(p)$是小于$p$并且与$p$互质的个数

3.5 递推

已知$inv[1] = 1$
假设已经求出$inv[i],\forall i<k$，求$inv[k]$
设$p = ak+b,0\le b<k$
$b\times inv[b] = (p-ak)\times inv[b] = -ak\times inv[b] = k\times(-a\times inv[b]) = 1\mod{p}$

则$inv[k] = -a\times inv[b] = -(p-/k)\times inv[p\mod k]\mod{p}$