求乘法逆元的5种方法

$求正整数a关于1模p的的乘法逆元，即求满足ax≡1(mod\ p)的正整数解x。$

一、 $扩展欧几里得算法(O(logP))$

$将ax≡1(mod\ p)转化为解方程ax+py=1的正整数解x。$

$前提条件：a与p互质，此时解唯一。$

代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)  //ax≡1(mod p)
{                                     //ax+py=1
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=(a/b)*x;
    
    return d;
}

int main()
{
	int p,x,y;
    p=mod;
    for(int a=1;a<=20;a++)	//求出1~20的逆元
    {
        exgcd(a,p,x,y);
        cout<<(x+p)%p<<endl;
    }
}

$二、费马小定理(O(logP))$

$前提条件：p为质数$

$则有a^{p-1}≡1(mod\ p)$

$即a·a^{p-2}≡1(mod\ p)，$

$a^{p-2}即逆元。通过快速幂可解。$

$三、欧拉定理求逆元(O(\sqrt{P}))$

$欧拉定理：若p,a为正整数，且p,a互质，则:$

$a^{\phi(p)}≡1(mod\ p)$

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$当p为质数时，即费马小定理。$

$因此，我们可以对p先求出欧拉函数\phi(p)，再用快速幂求出乘法逆元为a^{\phi(p)-1}。$

$可用定义求欧拉函数，时间复杂度O(\sqrt{p})$

代码：

ll get_euler(ll C)      //定义求欧拉函数
{
    ll res=C;
    for(int i=2;i<=C/i;i++)
        if(C%i==0)
        {
            while(C%i==0) C/=i;
            res=res/i*(i-1);
        }
            
    if(C>1) res=res/C*(C-1);
    return res;
}

$亦可用线性筛筛出[1,n]内的欧拉函数。$

$四、递推$

$求区间[1,n]的逆元，时间复杂度O(n)。$

代码：

    int inv[N];
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=20;i++)
        inv[i]=(long long)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;

$五、递推求阶乘逆元$

$先求出n!的逆元，再倒序递推。$

代码：

void init()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod; 
        
    inv[n]=quick_pow(fac[n],mod-2,mod); //求出最大项阶乘的逆元
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod; //递推得到所有阶乘的逆元
}