学习视频来源:麻省理工公开课_线性代数导论 讲师:Gilbert Strang
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Lecture 7 求解Ax=0:主变量、特殊解
我们将从定义转向算法,求解 的算法是怎样的?这节的主要内容是零空间。
已知矩阵
,解方程组
。在对矩阵进行消元的过程中,零空间不会改变(方程组的解不变),改变的是列空间。
- 首先经过消元得到一个echelon form 阶梯形式的矩阵
,本例中只有两个主元。现在我们得到了矩阵里最重要的数字:矩阵的rank 秩(主元的数量)。
- 要想求出
的解,我们进行下一步:找出pivot variables 主变量。
本例中我们有两列pivot columns 主列,和剩下的两列free columns 自由列。这些自由列表示,可以自由或任意分配数值给未知数 和 ,即列2和列4的乘数是任意的。然后我们只需求解主变量 和 。
假设给定 , ,那么方程组
<=> 变为 ,
解得 。假设给定 , ,那么方程组变为 ,
解得 。现在我们有了两个解向量 , 。这两个向量被称为special solutions 特殊解。special 特殊之处在于给自由变量分配的special numbers 特殊值(0、1)。通过取两个特殊解的所有线性组合,即构造出了整个零空间。那么特殊解的数量有多少呢?每个自由变量对应一个特殊解。而秩( )表示主变量的个数,列数减去秩( )就是自由变量的个数。
- 现在
是阶梯型矩阵,我们来将其进一步简化为reduced row echelon form 简化行阶梯形式
,向上消元,将主元上下全变为 0,并简化为 1。
- 现在
是阶梯型矩阵,我们来将其进一步简化为reduced row echelon form 简化行阶梯形式
,向上消元,将主元上下全变为 0,并简化为 1。
- 以最简形式包含了所有信息:主元,主行,主列,以及一个单位阵(位于主行和主列交汇处)。现在我们求解 <=> (从 到 到 ,消元不改变解)。
当我们给自由变量分配特殊值并回代后,主列构成的单位阵 ,自由列构成的部分 ,恰能构成两个特殊解(符号相反): 。
- 抽象一点来证明上述的结论:假设有简化行阶梯形式矩阵 ,主列在前,自由列在后,下面是一些零行。 是 矩阵,有 个主元, 个自由列。
要满足 ,首先要找到一个null space matrix 零空间矩阵( ),使得 , 的各列由特殊解组成。那么易看出 , 放在自由变量部分, 放在主变量部分。
再给出另一个例子把这个算法过一遍。
已知矩阵 ,消元至 ,可得 ,2列主列,1列自由列。继续消元至 ,可得 , 。则 的零空间 ( 为常数)。回代 验证无误。