I.基本定理:
1.组合与排列,二项式
2.全概率
已知某个事件的条件概率,求该事件在总样本空间中的概率
3.贝叶斯
根据先验知识和已知的条件概率求得另一条件概率(即求后验知识
II.离散型随机变量
1.伯努利实验
只有两个可能结果的实验。(抛硬币)
2.二项分布
n次伯努利实验随机变量 的概率分布,记
或
定理:当k=ent( (n+1)p ) 时 , 最大。其中ent(x)为不大于x的最大整数。
3.泊松定理与泊松分布
随机变量 以全体自然数为其一切可能值,其分布律为
二项分布的n很大而p很小时,可用泊松分布近似替代。
4. 超几何分布
(如在一箱有N件产品中混入M件次品,抽n件,其查出次品的件数 的概率分布)
5.几何分布
(在伯努利实验直到成功时所进行实验的次数 的分布律 )
6.负二项分布(巴斯卡分布)
(在独立重复的伯努利试验序列中第r次成功的试验次数序号 是个随机变量,其值可能为r, r+1, r+2 ,…)
二项分布、负二项分布、几何分布等都涉及了独立重复试验序列(如伯努利试验),不同之处在于实验序列的停止规则。
(二项分布对应于n次伯努利试验,即试验独立进行确定的n次后就停,而出现事件A(成功)的次数是随机的;负二项分布则相反,事件A(成功)出现的次数r是确定的,而独立重复进行的实验次数却是随机的,直到看到第r次出现事件A(成功)时才停止)
III. 连续型随机分布
1.分布函数(累积分布函数)
F(x)
2.概率分布密度,密度函数:
概率密度函数f(x)满足:
;
分布函数和密度函数的关系:
3. 期望与方差
3.1 当满足 时(若发散则不满足,如柯西分布),则 存在数学期望 ,有:
3.2 若已知连续随机变量 的密度函数为,又知随机变量,则满足不发散的条件时候,有
(而不用求中密度函数 。)
3.3 方差或(样本点与期望差值(距离、误差)的期望)
其中为 的二阶原点矩
为 的二阶中心矩
4. 契比雪夫不等式
4.1 方差由期望和样本点推导出来,是刻画随机变量对数学期望离散程度的最重要的数字特征。
4.2 契比雪夫定理:对于任何具有有限方差的随机变量 都有
4.2.1 由不等式可知,随机变量 的取值离其期望距离大于 的概率,为方差所控制(也与 有关)。若方差很小,则这个概率也很小。从这也可以看出方差是描述随机变量与其均值离散程度的一个量。
4.2.2 只需要知道随机变量的期望(均值)和方差,不必知道分布(密度函数),就能求出随机变量取值偏离期望大于任意给定 的概率之上界。