古典概型

【例1】一部四册的文集按任意次序放到书架上去，问各册自右向左或自左向右恰成 1，2，3，4 的顺序（用 $A$ 表示）的概率是多少？

解

此随机试验的结果是四本书在书架上的一种放法，而每一种放法对应于 1，2，3，4 的一种排列。也即是说 1，2，3，4 四部文册之间是有顺序的。因此试验的样本点总数就是四部文册的一个全排列，为 $A_{4}^{4}= 4!$ .

由于文集按照“任意的”次序放到书架上去，因此每一种放法或样本点的出现是等可能的，由此可知这是一个古典概型问题。 $A$ 包含的样本为 $\left \{ 1,2,3,4 \right \}$ 或 $\left \{ 4,3,2,1 \right \}$ 两种，因此 $A$ 所包含的样本点数为2，所以

$P\left ( A \right )= \frac{2}{4!}= \frac{1}{12}$ .

【例2】箱中有5个白球及4个黑球，从中任取3个球，求下列事件的概率：

（1）取到的都是白球；

（2）取到2个白球1个黑球.

解

本实验是从9个球中任取3个球，由于球形状相同，只有颜色不同，因此这是一个组合问题。从9个球中任取3个球，共有 $C_{9}^{3}$ 种不同的取法，且每种取法的出现具有等可能性，因此属古典概型问题。

（1）令 $A$ = “取到的都是白球”。从5个白球中任取3个，那么 $A$ 所包含的样本点数为 $C_{5}^{3}$ ，所以

$P\left ( A \right )= \frac{C_{5}^{3}}{C_{9}^{3}}= \frac{5}{42}$ .

（2）令 $B$ = “取到2个白球1个黑球”。从5个白球中任取2个，从4个黑球中任取1个，那么 $B$ 所包含的样本点数为 $C_{5}^{2}C_{4}^{1}$ ，所以

$P\left ( B \right )= \frac{C_{5}^{2}C_{4}^{1}}{C_{9}^{3}}= \frac{10}{21}$ .

上例去球的方式称为“不放回抽取”，若将其改为“放回抽取”，即每次从箱中任取一球，记下球的颜色后放回箱中，再作第2次抽取，如此连取3次，则上例中事件 $A$ ， $B$ 的概率为多少？

（1）令 $A$ = “取到的都是白球”。从9个球中任取一个白球的概率是 $P_{1}= \frac{5}{9}$ ,放回抽取下一次，下一次取到白球的概率不变，所以

$P\left ( A \right )= P_{1}\times P_{1}\times P_{1}= \left (\frac{5}{9} \right )^{3}= \frac{125}{729}$ .

（2）令 $B$ = “取到2个白球1个黑球”。从9个球中任取一个白球的概率是 $P_{1}= \frac{5}{9}$ ，从9个球中任取一个黑球的概率是 $P_{2}= \frac{4}{9}$ ，放回抽取下一次，下一次取到白球和黑球的概率都不变。但是这里有一个顺序问题，取到的黑球是在第1次、第二次、还是第三次抽取的时候取到的？所以有一个组合问题，应该是 $C_{3}^{1}= 3$ 种情况，所以

$P\left ( B \right )=C_{3}^{1} \times P_{1}\times P_{1}\times P_{2}= \frac{100}{243}$ .

【例3】把10本不同的书随意放在书架上，求其中指定的5本书放在一起的概率。

解

10本书是互不相同的，所以这是一个排列问题。10本书随意的放在书架上，那么一共有 $A_{10}^{10}= 10!$ 种放法。

现在需要将指定的5本书放到一起，意思就是不能让这指定的5本书分开。那么可以将这指定的5本书看做是一个整体，也即是看做一本书。那么6本书排列的数目是 $A_{6}^{6}= 6!$ 种，指定的5本书自身内部的顺序也可以是任意的，那么5本书自身内部排列顺序的数目有 $A_{5}^{5}= 5!$ 种，所以

$P\left ( A \right )= \frac{6!\times 5!}{10!}= \frac{1}{42}$ .

【例4】设有 $N$ 件产品，其中有 $M$ 件次品，现从这 $N$ 件中随机地取出 $n$ 件（ $n\leq N$ ），求 $n$ 件中恰有 $m$ 件（ $m\leq M$ ）次品的概率。

解

本题的关键思想是：抽取的 $n$ 件产品中有 $m$ 件次品， $\left ( n-m \right )$ 件非次品！

非次品数目 + 次品数目 = 总的产品数目；

总的产品数目为 $N$ ，总的次品数目为 $M$ ，则总的非次品数目为（ $N-M$ ）；

总的事件数目是 $C_{N}^{n}$ 种；

抽出 $n$ 件产品中恰有 $m$ 件次品，那么非次品有（ $n-m$ ）件；

从 $M$ 件次品中随机抽取 $m$ 件次品的抽法有 $C_{M}^{m}$ 种；

从（ $N-M$ ）件非次品中随机抽取（ $n-m$ ）件非次品的抽法有 $C_{N-M}^{n-m}$ 种；

所以最终的概率为

$P_{A}= \frac{C_{M}^{m}\times C_{N-M}^{n-m}}{C_{N}^{n}}$ .

【例5】某班级有 $n$ 个人（ $n\leq 365$ ），问同时有两人的生日在同一天的概率是多少？

解

由于每个人在一年365天的每一天过生日都是可能的，所以 $n$ 个人可能的生日情况为 $365^{n}$ 种，且每一种情况的出现具有等可能性，故属古典概型问题。

设 $A$ = “至少有两人的生日在同一天”，由于 $A$ 所包含的样本点数不便直接计算，我们来考察其对立事件 $\bar{A}$ ，因为 $\bar{A}$ = “ $n$ 个人的生日全不同”，所以 $\bar{A}$ 所包含的样本点数为

$365\times 364\times \times \cdots \left ( 365-n+1 \right )= \frac{365!}{\left ( 365-n \right )!}$ .

解释： $\bar{A}$ = “ $n$ 个人生日全不同”，那么第1个人过生日的可能是365天中的任何一天，也就是365种可能；第2个人过生日的可能是除了第一个人生日那天的其余364天，也就是364种可能；以此类推，第 $n$ 个人过生日有 $\left ( 365-n+1 \right )$ 种可能。