§3 古典概型

定义1.3.1（古典概型）

满足下列性质的随机现象称为古典概型：

1. 在试验中他的全部可能结果个数有限。
2. 每个事件发生的概率相等。

古典概型是有限样本空间的特例。

选 $\Omega = \{ \omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}\}$ 作为样本空间，且此时应该有
$P(\omega_{1}) = P(\omega_{2}) = \dotsb =P(\omega_{n}) = \frac{1}{n}.$

在古典概型中，事件 $A$ 的概率是一个分数，其分母是样本点的总数 $n$，分子是事件 $A$ 中所包含的样本点个数 $m$。由于样本点 $\omega_{1},\omega_{2},\dotsb,\omega_{n}$ 的出现必然导致 $A$ 的出现，故习惯上常称其为 $A$ 的有利场合。因此：
$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{A的有利场合数目}{样本点总数}.$

下面介绍基本的组合分析公式。事实上，全部的组合分析公式推导均基于乘法原理和加法原理。
从包含有 $n$ 个不同元素的总体中取出 $r$ 个进行排列，此时既要考虑到所取出的元素，亦要考虑其取出的顺序。
这样的排列可分为两类：有放回的选取，和不放回的选取。

定义1.3.2（有重复的排列）

在有放回的选取中：从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个进行排列，称这种排列为有重复的排列，其总数有 $n^{r}$ 种。

定义1.3.3（选排列和全排列）

在不放回选取中，从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个进行排列，其总数为
$A^{r}_{n} = n(n-1)(n-2)\dotsb(n-r+1)$
称其为选排列。特别地，当 $r = n$ 时，称为全排列。

$n$ 个不同元素的全排列数为：
$P_{n} = n(n-1)\dotsb3\cdot 2 \cdot 1 = n!$

定义1.3.4（组合）

从 $n$ 个不同元素中取出 $r$ 个而不考虑其顺序，称为组合。其总数为：
$C^{r}_{n} = \binom{n}{r} = \frac{A^{r}_{n}}{r!} = \frac{n!}{(n-r)!}$

$\binom{r}{n}$称为二项系数，是下列二项展开式的系数：
$(a+b)^{n} = \sum^{n}_{r=0} \binom{n}{r}a^{r}b^{n-r}.$

若 $r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = n$，将 $n$ 个不同的元素分成 $k$ 个部分，则不同的分法有
$\frac{n!}{r_{1}! r_{2}!\dotsb r_{k}!}$
种，上式中的数称为多项系数，因其为 $(x_{1} + x_{2} + \dotsb + x_{k})^{n}$ 展开式中 $x_{1}^{r_{1}},x_{2}^{r_{2}},\dotsb,x_{k}^{r_{k}}$ 的系数。当 $k$ 为 $2$ 时即为二项系数。

若 $n$ 个元素中有 $n_{1}$ 个带脚标 $“1”$ ,有 $n_{2}$ 个带足标 $“2”$ , $\dotsb$,有 $n_{k}$ 个带脚标 $“k”$，且 $n_{1} + n_{2} + \dotsb + n_{k} = n$，从这 $n$ 个元素中取出 $r$ 个，使得带有足标 $“i”$ 的元素有 $r_{i}$ 个，而 $r_{1} + r_{2} + \dotsb + r_{k} = r.$ 则不同取法的个数为：
$\binom{n_{1}}{r_{1}}\binom{n_{2}}{r_{2}}\dotsb \binom{n_{k}}{r_{k}}$

从 $n$ 个不同的元素中有重复地取出 $r$ 个，不计顺序，则不同的取法有:
$\binom{n + r - 1}{r}$

关于二项系数的一些公式：

1. 在二项系数的定义式中，若约定 $0！ = 1$，则对 $\forall 0\leq k\leq n$，成立
   $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}.$

2. 对正整数 $n$ 和 $k$，若 $n < k$，则
   $\binom{n}{k} = 0.$

将排列公式推广至 $r$ 为正整数，而 $n$ 为任意实数 $x$ 的情形：此时记
$A_{x}^{r} = x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)$
同样定义
$\binom{x}{r} = \frac{A_{x}^{r}}{r!} = \frac{x(x-1)(x-2)\dotsb(x-r+1)}{r!}$
并且约定： $\binom{x}{0} = 1.$