题目描述:
是三角形 的一个内点,请证明:
.
解
根据题目描述,可以画出如下的图形
直接证明比较复杂,可以通过做辅助线的方法进行证明。
延长线 交 于点 ,如下图所示。
如图所示,将 、 、 和 都放入有关系的三角形中,可以根据三角形三边的关系来证明这个问题。
三角形的三边关系:
三角形中任意两边之和大于第三边;
三角形中任意两边之差小于第三边。
在三角形 中,由三边关系可得
, (1)
因为边 是由 和 组成,所以
, (2)
将(2)式代入(1)式中,得到
, (3)
在三角形 中,由三边关系可得
, (4)
由不等式的性质可知,不等号两边的式子对应相加,不等号的方向不改变;
所以(3)式 + (4)式,可得:
,(5)
观察(5)式不等号的左边,
, (6)
所以,可以将(5)式进行化简,得:
,(7)
(7)式不等号左右两边都有一个 ,去掉 , 不等号的方向不改变。
最后得证:
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