多元函数第一：实数系统（4）三大公理的再讨论

实数系统的三大公理，远比我们想象的要强大得多。可以证明，任何满足三大公理的代数系统，都与实数系统同构。所谓同构，用老子的话说，是同出而异名。看似不一样的东西，只是叫法不同，实际上是一回事。用数学语言描述如下。

定义. 两个包含加法运算和乘法运算的代数系统S和T同构，如果它们存在一个一一映射 $f: S \mapsto T$ 满足：

$f(0_S)=0_T$ ，也即f将S中的加法幺元映射为T中的加法幺元。
$f(1_S)=1_T$ ，也即f将S中的乘法幺元映射为T中的乘法幺元。
f(a+b)=f(a)+f(b)对集合S中的任意a和b成立，也即f保持加法结构不变。注意，这里f(a+b)中的+是域S上的加法，而f(a)+f(b)是域T上的加法。
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b)$ 对集合S中的任意a和b成立，也即f保持乘法结构不变。

以上四条，是域上关于同构的定义。但如果元素之间有比较关系，那么还应该满足：

f(a)<f(b)当且仅当a<b。

同构是域上面非常重要的性质。可以证明，对于有限域来说，它的结构只与域上的元素个数有关。换句话说，任何两个元素个数相同的有限域都是同构的。这就是为什么我们在说有限域时，有诸如二元域，三元域，q元域之类的称呼。这里的二，三和q都表示有限域中的元素个数。

要证明满足三大公理的代数系统都与实数系统同构，并不是简单的事，这需要对代数学基础有比较全面的认识。本文，将根据三大公理，构造出自然数集。这算是证明实数系统同构定理的第一步。

接下来，我们假设有一个代数系统S满足三大公理，它的加法幺元和乘法幺元分别记为0和1。

引理1. $a\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}$ 对所有的 $a\in S$ 成立。

证明. $a\cdot\mathbf{0}=a\cdot(\mathbf{0}+\mathbf{0})=a\cdot\mathbf{0}+a\cdot\mathbf{0}$ 。等式两边分别加上 $a\cdot\mathbf{0}$ 的逆元便有

$\mathbf{0}=a\cdot\mathbf{0} + (-a\cdot\mathbf{0})=a\cdot\mathbf{0}+a\cdot\mathbf{0}+(-a\cdot\mathbf{0})=a\cdot\mathbf{0}$ 。

证毕。

推论1. $a\cdot(-b)=-(a\cdot b)$ 对所有的 $a,b\in S$ 成立。

证明. $a\cdot b + a\cdot (-b)=a\cdot(b+(-b))=a\cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}$ ，由加法逆元的定义知推论成立，证毕。

引理2. 若a>b，则-a<-b。

证明. 参见确界原理引理1。证毕。

推论2. 若a>b, c<0，则有 $a\cdot c < b\cdot c$ .

证明. 由本文引理2知c的加法逆元-c>0。故由三大公理中的公理2知 $a\cdot(-c)>b\cdot(-c)$ ，也即 $-a\cdot c > -b\cdot c$ 。再利用引理2便有结论成立。证毕。

引理3. 1>0.

证明. 首先由公理2，0和1必须是不同的元素，故不相等。

假设1<0，由推论2知 $\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}>\mathbf{1}\cdot\mathbf{0}$ （令推论2中的a=1,b=0,c=1）。又由引理1便有 $\mathbf{1}=\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}>\mathbf{1}\cdot\mathbf{0}=\mathbf{0}$ ，与假设矛盾。引理证毕。