题目链接 This is the link
P1754 球迷购票问题
题目背景
盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。
按售票处规定,每位购票者限购一张门票,且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币,另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。
题目描述
例如当n=2是,用A表示手持50元面值的球迷,用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式,使售票员不至于找不出钱。
第一种:A A B B
第二种:A B A B
[编程任务]
对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式,可以使售票处不至于找不出钱。
输入格式:
一个整数,代表N的值
输出格式:
一个整数,表示方案数
输入样例#1: 2
输出样例#1: 2
说明
必开QWORD
测试:N=15
回溯:1秒(超时)
模拟栈:大于10分钟
递归算法:1秒(超时)
动态规划:0 MS
组合算法:16 MS
问题分析:
算法1:回溯法
设变量k表示售票处有50元面值的钞票的张数,初始时令,k=0;若来人拿100元的钞票且k=0,则回溯,否则继续递归,
dfs(i),i表示处理第几个人购票,当i=2n且购票成功,则计数器加一,否则继续递归查找。直到全部人员购票成功。
This is the code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long total;
int k,n;
void dfs(int dep)
{
if(dep==2*n)
{
if(!k)//表示50的余票为零,正好符合题意每种钞票的拥有人数
total++;//计数器加一
return ;
}
if(k)//表示有票,可以来一个100元的
{
k--;
dfs(dep+1);
k++;
}
//无论有票还是没有票,都可以来一个50元的
k++;
dfs(dep+1);
k--;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
dfs(0);
printf("%lld",total);
return 0;
}
算法2:栈模拟
对那有50元票的人编号,用栈来模拟进出的情况,50的购票相当于进栈,100的购票相当于出栈,模拟有多少种进出栈的方式,
即出栈规则没有,且的出栈顺序,
用全排列,并判断是否符合规则即可,并加上必要的枝减
This is the code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long total;
int date[30];
bool v[30];
int n;
bool check(int s)
{
for(int i=1;i<s;++i)
for(int j=i+1;j<=s;++j)
if(date[j]<date[s]&&date[s]<date[i])
return false;
return true;
}
void dfs(int dep)
{
if(dep==n+1)//符合出栈规则
{
total++;//计数器加一
return ;
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(!v[i])
{
v[i]=true;
date[dep]=i;
if(check(dep))
dfs(dep+1);
v[i]=false;
}
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
dfs(1);
printf("%lld",total);
return 0;
}
3.递归算法
我们设m个人拿着50元的钞票,n个人拿着100元的钞票,分析讨论
(1). 当n==0时,意味着每个人手里都拿着票,则排列方案数为1;
(2).当m<n时,表示50的票少于100的票,排列方案数为0;
(3).其他情况,有m+n个人买票,
当第m+n个人手里时100元的钞票时,则前面有f(m,n-1)种排列方式,
当第m+n个人手里时50元的钞票时,则前面有f(m-1,n)种排列方式,
递归公式为
This is the code
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long f(int m,int n)
{
if(m<n)
return 0;
else if(!n)
{
return 1;
}
else
return f(m-1,n)+f(m,n-1);
}
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
printf("%lld",f(n,n));
return 0;
}
算法4:递推,(动态规划)
递归算法是由终止条件向初始条件推导,中间重复计算特别多,递推算法使用初始条件向终止条件推导,中间可以可以记录运行结果,没有多余的计算出现,相当于使用空间换时间 ,时间空间复杂度都为O(n*n);
This is the code
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long f[30][30];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<=n;++i)//i代表m,
{
for(int j=0;j<=i;++j)//j代表n
if(j)
f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-1];
else
f[i][j]=1;
}
printf("%lld",f[n][n]);
return 0;
}
算法5:Catalan数,
经过简单的推导,发现使用结果Catalan数,直接套用公式求解