说实话这东西至少得学一天……

普通型生成函数 OGF

数列$f(x)=a_x$的普通型生成函数为$g(x)=\sum_{i=0}^\infty a_ix^i$。
一般来说，$f(x)$是有特殊性质的。它会得到一些特殊的生成函数。在收敛意义下（假设函数会收敛），生成函数有以下计算公式：
$\sum_{i=0}^\infty x^i=\frac{1}{1-x}$，即$f(x)=1$的生成函数为$g(x)=\frac{1}{1-x}$。
$\sum_{i=0}^n C_n^ix^i=(1+x)^n$，即$f(x)=C_n^x$的生成函数。这其实是二项式定理。
$\sum_{i=0}^\infty C_{n+i-1}^ix^i=\frac{1}{(1-x)^n}$，即$f(x)=C_{n+x-1}^x$的生成函数。（广义二项式定理）
$\sum_{i=0}^\infty (i+1)x^i=\frac{1}{(1-x)^2}$，即$f(x)=x+1$的生成函数。这是上式的特殊情况。
在第一个式子中，将$x$代为其它式子，有：
$\sum_{i=0}^\infty x^{ki}=\frac{1}{1-x^k}$，即$f(x)=x\%k?0:1$的生成函数。
$\sum_{i=m}^\infty x^i=\frac{x^m}{1-x}$，即$f(x)=[x\ge m]$的生成函数。
$\sum_{i=0}^\infty a^ix^i=\frac{1}{1-ax}$，即$f(x)=a^x$的生成函数。
还有一些显然的式子，如：
$\sum_{i=0}^n x^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$，即$f(x)=1(x\le n)$的生成函数。
将以上形式进行组合，还可以得到多种生成函数。得到生成函数后，从右反推到左得到原函数。
生成函数的意义在于将复杂的组合问题转化为简单的计算问题。普通型生成函数做组合问题，而指数型生成函数做排列问题。

练习题：求选n个水果的方案数。苹果和香蕉有无限个，但苹果必须成对拿，而香蕉必须五个一组地拿；橘子只有4个，梨只有一个。

设$f(n)$表示选$n$个水果的方案数。将每种水果的生成函数乘起来，有

求斐波那契数列通项

斐波那契数列的生成函数为$g(x)=x+x^2+2x^3+3x^4+5x^5+8x^6+...$
由数列性质容易推知

指数型生成函数 EGF

函数$f(x)=a_x$的指数型生成函数为$h(x)=\sum_{i=0}^\infty \frac{a_ix^i}{i!}$。
新的公式是$\sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}=e^x$。同样可以通过代换$x$得到很多公式变形。以下为典型变形：
$\sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2i}}{(2i)!}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$；
$\sum_{i=0}^\infty \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$。
数列{0,1,0,-1,0,1,0,-1….}的指数型生成函数为sin(x)，数列{1,0,-1,0,1,0,-1,0….}的指数型生成函数为cos(x)。

练习题：求选n个水果的方案数。苹果、香蕉、橙子、梨都有无限个，但苹果要选奇数个，香蕉要选偶数个。每个水果都不同。

因为是排列问题，所以用指数型生成函数。