题意:
给出一个括号序列,求包含这个序列的长度为2*n括号匹配的个数。
分析:
这里不得不介绍一下BZOJ1009GT考试
这题是简化版本。
很容易发现,这题就是GT问题的补集。
首先,括号匹配的常规DP定义式:
表示长度为i,前缀和为j的括号匹配方案数
如果直接DP,是会算重的,因此要将dp加一维,表示成
表示长度为i,前缀和为j,此时最长能匹配到s串的第k个位置的方案数。
那么为了维护k的转移,我们需要借助kmp算法。
转移式为:
(
表示当匹配到第k个位置后,再加入一个字符”(“所匹配到的最远位置,
则反之)
我的方法有点奇怪,我是直接在中途算答案的,并没有算补集。所以下面的内容愿意看就看,不愿意就去写补集吧。
表示s串最后一个字符。(“(”为1、“)”为-1)
表示长度为i,前缀和为j的括号匹配方案数。
当
时,
构建kmp转移我就不赘述了。。。不会的自己去复习kmp
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define SF scanf
#define PF printf
#define MAXN 210
#define MOD 1000000007
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
char s[MAXN];
ll dp[MAXN][MAXN][MAXN],dp1[MAXN][MAXN];
int mindep,pres,ncnt,len,minl,a[MAXN];
int qr[MAXN][2],las[MAXN];
ll ans;
void build(){
len=strlen(s);
for(int i=0;i<len;i++){
if(s[i]=='(')
a[i+1]=0;
else
a[i+1]=1;
}
for(int i=0;i<len;i++){
for(int j=0;j<2;j++){
int x=i;
while(1){
if(a[x+1]==j){
qr[i][j]=x+1;
break;
}
if(x==0)
break;
x=las[x];
}
}
int x=i;
while(x){
x=las[x];
if(a[x+1]==a[i+1]){
las[i+1]=x+1;
break;
}
}
}
}
int main(){
SF("%d",&n);
SF("%s",s);
build();
dp[0][0][0]=1;
dp1[0][0]=1;
for(int i=1;i<=2*n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++){
if(j)
dp1[i][j]+=dp1[i-1][j-1];
dp1[i][j]+=dp1[i-1][j+1];
dp1[i][j]%=MOD;
}
if(a[len]==0)
pres=1;
else
pres=-1;
for(int i=0;i<=2*n;i++)
for(int j=0;j<=i;j++)
for(int k=0;k<len;k++){
if(j+pres>=0&&k==len-1&&2*n-i-1>=0){
//PF("{(%d %d %d %d)%lld %lld}\n",i,j,k,j+pres,dp[i][j][k],dp1[2*n-i-1][j+pres]);
ans+=dp[i][j][k]*dp1[2*n-i-1][j+pres];
ans%=MOD;
}
(dp[i+1][j+1][qr[k][0]]+=dp[i][j][k])%=MOD;
if(j)
(dp[i+1][j-1][qr[k][1]]+=dp[i][j][k])%=MOD;
}
PF("%lld",ans);
}